Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 72 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

72
17 Вычисление производных основных элементарных функций
17.1 Производная постоянной функции
Производная функции ,
C
y
=
где С – постоянное число, выражается
формулой
0
=
′
y (22)
Доказательство: Для любых х и
x
∆
имеем
C
x
x
f
=
∆+ )( и
0)()( =−∆+=∆
x
f
x
x
f
y . Отсюда 0=
∆
∆
x
y
при любом 0
≠
∆
x
и, следователь-
но,
.0lim
0
=
∆
∆
=
′
→∆
x
y
y
x
17.2 Производная степенной функции
Производная функции
n
xy = , показатель n которой является целым по-
ложительным числом, выражается формулой
.
1
−
⋅=
′
n
xny (23)
Доказательство: Хорошо известные формулы
,33)(
,2)(
32233
222
babbaaba
bababa
+++=+
++=+
можно записать так:
.)(
,)(
33
3
22
3
21
3
30
3
3
22
2
1
2
20
2
2
bCabCbaCaCba
bCabCaCba
+++=+
++=+
Аналогичные формулы будут справедливы для четвёртой, пятой и во-
обще любой натуральной степени бинома. Например,
.)(
44
4
33
4
222
4
31
4
40
4
4
bCabCbaCbaCaCba ++++=+
Теорема 40. Для произвольных чисел a и b и произвольного натураль-
ного числа n справедлива формула
.......)(
110 nn
n
kknk
n
n
n
n
n
n
bCbaCbaCaCba +++++=+
−
−
Формула носит имя великого английского физика и математика И. Нью-
тона. Правая её часть называется разложением натуральной степени бинома.
Коэффициенты
k
n
C
называются биномиальными коэффициентами.
Отметим некоторые характерные особенности формулы Ньютона.
а) Правая часть формулы Ньютона содержит (n+1) слагаемых.
б) Каждое слагаемое имеет вид
.
kknk
n
baC
−
      17 Вычисление производных основных элементарных функций

      17.1 Производная постоянной функции

      Производная функции y = C , где С – постоянное число, выражается
формулой
                               y′ = 0                             (22)

       Д о к а з а т е л ь с т в о : Для любых х и ∆x имеем f ( x + ∆x) = C и
                                          ∆y
∆y = f ( x + ∆x) − f ( x) = 0 . Отсюда        = 0 при любом ∆x ≠ 0 и, следователь-
                                          ∆x
но,
                                                ∆y
                                    y ′ = lim      = 0.
                                          ∆x →0 ∆x


      17.2 Производная степенной функции

      Производная функции y = x n , показатель n которой является целым по-
ложительным числом, выражается формулой

                                               y ′ = n ⋅ x n−1 .                (23)

       Д о к а з а т е л ь с т в о : Хорошо известные формулы
      (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 ,
      (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 ,           можно записать так:
      (a   + b) = C 20 a 2
                2
                              + C 21 ab + C 22 b 2 ,
      (a   + b) 3 = C30 a 3   + C31a 2 b + C32 b 2 a + C33b 3 .
       Аналогичные формулы будут справедливы для четвёртой, пятой и во-
обще любой натуральной степени бинома. Например,
       ( a + b) 4 = C 40 a 4 + C 41 a 3 b + C 42 a 2 b 2 + C 43 ab 3 + C 44 b 4 .
       Теорема 40. Для произвольных чисел a и b и произвольного натураль-
ного числа n справедлива формула
      (a + b) n = C n0 a n + C n1 a n −1b + ... + C nk a n − k b k + ... + C nn b n .
       Формула носит имя великого английского физика и математика И. Нью-
тона. Правая её часть называется разложением натуральной степени бинома.
Коэффициенты C nk называются биномиальными коэффициентами.
       Отметим некоторые характерные особенности формулы Ньютона.
       а) Правая часть формулы Ньютона содержит (n+1) слагаемых.
       б) Каждое слагаемое имеет вид C nk a n − k b k .


72

Страницы