Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

74
.coslim
0
x
x
y
y
x
=
∆
∆
=
′
→∆
Ч.т.д.
Производная функции
x
y cos
=
выражается формулой
.sin xy
−
=
′
(25)
Доказательство: Имеем
).2
/
sin()2
/
sin(2cos)(cos
x
x
x
x
x
x
y
∆
+
∆
−
=
−∆+=∆
Таким образом, при 0≠∆
x
).2/sin(
2
/
)2/sin()2/sin()2/sin(2
xx
x
x
x
xxx
x
y
∆+
∆
∆
−=
∆
∆
+
∆
−=
∆
∆
Так как
xxx
x
sin)2/sin(lim
0
=
∆+
→∆
в силу непрерывности функции
x
sin ,
то
3) .sinlim
0
x
x
y
y
x
−=
∆
∆
=
′
→∆
Ч.т.д.
Производная функции
x
t
g
y
=
выражается формулой
.
2
cos
1
2
π+
π
≠=
′
nx
x
y (26)
Доказательство: Так как ,cos
/
sin
x
x
x
t
g
=
то по теореме (39
получим
,
cos
sincos
cos
)sin(sincoscos
cos
)(cossincos)(sin
2
22
22
x
xx
x
xxxx
x
xxxx
y
+
=
−−
=
′
−
′
=
′
следовательно,
.
cos
1
2
x
y =
′
Ч.т.д.
Производная функции
x
ct
g
y
=
выражается формулой
).(
sin
1
2
π≠−=
′
nx
x
y (27)
Доказательство: Так как ,sin
/
cos
x
x
x
ct
=
то аналогично
предыдущему имеем
,
sin
cossin
sin
coscossin)sin(
sin
)(sincossin)(cos
2
22
22
x
xx
x
xxxx
x
xxxx
y
+
−=
−−
=
′
−
′
=
′
следовательно, 
                  ∆y
        y ′ = lim    = cos x. Ч.т.д.
            ∆x →0 ∆x
        Производная функции y = cos x выражается формулой

                                            y ′ = − sin x.                            (25)

        Д о к а з а т е л ь с т в о : Имеем
            ∆y = cos ( x + ∆x) − cos x = −2 sin(∆x / 2) sin( x + ∆x / 2).
        Таким образом, при ∆x ≠ 0
            ∆y      2 sin(∆x / 2) sin( x + ∆x / 2)    sin(∆x / 2)
                =−                                 =−             sin( x + ∆x / 2).
            ∆x                    ∆x                     ∆x / 2
        Так как lim sin( x + ∆x / 2) = sin x в силу непрерывности функции sin x ,
                    ∆x →0
то
                       ∆y
            3) y ′ = lim  = − sin x. Ч.т.д.
                 ∆x →0 ∆x
        Производная функции y = tg x выражается формулой

                                        1         π       
                              y′ =            x ≠   + n π .                         (26)
                                     cos 2 x      2       

      Д о к а з а т е л ь с т в о : Так как tg x = sin x / cos x, то по теореме (39
получим
           (sin x)′ cos x − sin x(cos x)′ cos x cos x − sin x(− sin x) cos 2 x + sin 2 x
      y′ =                               =                            =                  ,
                       cos 2 x                      cos 2 x                 cos 2 x

следовательно,
                                                       1
                                             y′ =             . Ч.т.д.
                                                    cos 2 x

        Производная функции y = ctg x выражается формулой

                                                1
                                 y′ = −                ( x ≠ nπ).                     (27)
                                             sin 2 x

      Д о к а з а т е л ь с т в о : Так как ctg x = cos x / sin x, то аналогично
предыдущему имеем
           (cos x)′ sin x − cos x(sin x)′ (− sin x) sin x − cos x cos x     sin 2 x + cos 2 x
      y′ =                 2
                                         =               2
                                                                        = −          2
                                                                                              ,
                       sin x                          sin x                      sin x

следовательно,


74

Страницы