Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 76 стр.

       18 Правило дифференцирования сложной функции

         Напомним что называется сложной функцией.
         Пусть y = f(u), a u = u(x). Получаем функцию у, зависящую от аргумента
 х : у = f (u ( x) ) . Последняя функция называется функцией от функции или слож-
ной функцией.
Областью определения функции у = f (u (x) ) является либо вся область опреде-
ления функции и = и(х) либо та её часть, в которой определяются значения u ,
не выходящие из области определения функции y = f(и).
         Операция «функция от функции» может проводиться неоднократно, а
любое число раз.
         Установим правило дифференцирования сложной функции.
         Теорема 41. Если функция и = и(х) имеет в некоторой точке х0 произ-
водную и ′х = и ′( х 0 ) и принимает в этой точке значение и0 = и(х0), а функция y =
f(и) имеет в точке и0 производную y u′ = f ′(u 0 ) , то сложная функция у = f (u (x) )
в указанной точке х0 тоже имеет производную, которая равна

                                     y ′x = f ′(u 0 ) ⋅ u ′( x 0 ) ,                     (28)

где вместо и должно быть подставлено выражение и = и(х).
         Таким образом, производная сложной функции равна произведению
производной данной функции по промежуточному аргументу и на производную
промежуточного аргумента по х.
         Д о к а з а т е л ь с т в о: При фиксированном значении х0 будем иметь
u 0 = u ( x 0 ), y 0 = f (u 0 ) . Для нового значения аргумента х0+∆х:
          ∆и = и ( х 0 + ∆х ) − и ( х 0 ), ∆у = f (u 0 + ∆u ) − f (u 0 ).
         Так как и – дифференцируема в точке х0, то и непрерывна в этой точке.
Поэтому при ∆х → 0 ∆и → 0 . Аналогично при ∆и → 0 ∆у → 0 .
                                    ∆y
         По условию lim                = y u′ (u 0 ) . Из этого соотношения, пользуясь опреде-
                              ∆u →0 ∆x
лением предела, получаем (при ∆и→0)

                                               ∆у
                                                  = у и′ + α
                                               ∆и

где α →0 при ∆и→0, а следовательно, и при ∆х→0.
       Перепишем это равенство в виде:

                                         ∆у = у и′ ∆и + α ⋅ ∆и

       Полученное равенство справедливо и при ∆и = 0 при произвольном α,так
как оно превращается в тождество 0 = 0. При ∆и = 0 будем полагать α = 0. Раз-
делим все члены полученного равенства на ∆х

76