Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 77 стр.

                                                   ∆у          ∆и     ∆и
                                                      = у и′ ⋅    +α⋅    .
                                                   ∆х          ∆х     ∆х

                              ∆и
         По условию lim              = и ′х , lim α = 0 . Поэтому, переходя к пределу при
                       ∆х →0 ∆x              ∆x →0
∆х→0, получим y ′x = y u′ ⋅ u ′x .Ч.т.д.
         Итак, чтобы продифференцировать сложную функцию у = f (u (x) ) ,
нужно взять производную от «внешней» функции f, рассматривая её аргумент
просто как переменную, и умножить на производную от «внутренней» функции
по независимой переменной.
         Если функцию y=f(x) можно представить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x), то
нахождение производной у ′х осуществляется последовательным применением
предыдущей теоремы.
         По доказанному правилу имеем y ′x = y u′ ⋅ u ′x . Применяя эту же теорему
для u ′x получаем u ′x = u v′ ⋅ v ′x , т.е. y ′x = y ′x ⋅ u v′ ⋅ v ′x = f u′ (u ) ⋅ u v′ (v ) ⋅ v ′x ( x ) .
         Пример 63. y = e arctg x ,            y′ − ?
         Р е ш е н и е . y = e u , u = arctg x. Тогда по формуле (28)
                                           1
         y ′( x) = y ′(u ) u ′( x) = e u       .
                                         1+ x2
                                                                                             1
         Заменяя u на arctg x, окончательно получим y ′ = e arctgx                                 .
                                                                                           1+ x2
         Пример 64. y = tg 2 x 2 + 1                  y′ − ?
         Р е ш е н и е . Данную функцию можно представить в виде y = u 2 , где
u = tg v, а v = w и w = x 2 + 1. Тогда получаем,
          y ′( x) = y ′(u ) u ′(v) v ′( w) w′( x) = (u 2 ) ′(tgv) ′( w ) ′( x 2 + 1) ′ =
                   1        1                  2 xtg x 2 + 1
         = 2u        2
                                  2x =                               .
                cos v 2 w                cos   2      2
                                                     x +1 x +1  2


         Пример 65.
         1 y = sin x 2 . Тогда y ′ = cos x 2 ⋅ x 2        ( )′ = cos x   2
                                                                             ⋅ 2 x.
                           100                             99        ′                 99
                 2                            2            2                 2        2 
         2 y =x +              , y ′ = 100 x +       ⋅  x +  = 100 x +  ⋅ 1 − 2  .
                 x                            x            x                 x       x 
                                                                                        1
         3 y = ln 3 ( x + 3), y ′ = 3 ln 2 ( x + 3) ⋅ (ln( x + 3) )′ = 3 ln 2 ( x + 3)      .
                                                                                       x+3
                         1 − 2x
         4 y = ln cos             ,
                            3

                                                                                                         77