Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

79
19 Понятие логарифмической производной функции
Вычислим производную функции
(
)
.0ln
≠
=
xxy Так как
=−
′
−=
′
−
=
′
,/1/)())((ln
,/1)(ln
xxxx
xx
(последнее равенство получено на основании правила дифференцирования
сложной функции), то производная данной функции выражается следующей
формулой:
.
1
)(ln
x
xy =
′
=
′
(29)
Учитывая формулу (29), вычислим производную сложной функции
,ln uy = где )(
x
f
u = - дифференцируемая функция.
)(
)(
)(ln
xf
xf
u
u
uy
′
=
′
=
′
=
′
, или
.
)(
)(
))((ln
xf
xf
xf
′
=
′
(30)
Определение: Производная ))((ln
′
xf называется логарифмической
производной функции )(
x
f
.
Вычислим с помощью логарифмической производной производную по-
казательно-степенной функции ,)(
)(xv
xuy = где u и v – некоторые функции от
x (u>0), имеющие в данной точке x производные )(xu
′
и )(xv
′
. Так как
)(ln)(ln
x
u
x
v
y = , то, используя формулу (30), получаем
.
)(
)(
)()(ln)(])(ln)([
xu
xu
xvxuxvxuxv
y
y
′
+
′
=
′
=
′
Отсюда, учитывая, что ,)(
)(xv
xuy = получаем формулу для производной пока-
зательно-степенной функции
,
)(
)(
)()(ln)()(
)(
′
+
′
=
′
xu
xu
xvxuxvxuy
xv
)()(ln)()()()(
)(1)(
xvxuxuxuxuxvy
xvxv
′
⋅⋅+
′
⋅⋅=
′
−
. (31)
Таким образом, для того чтобы найти производную показательно–степенной
функции, достаточно дифференцировать её сначала как степенную, а затем как 
      19 Понятие логарифмической производной функции

       Вычислим производную функции y = ln x ( x ≠ 0 ). Так как
       (ln x) ′ = 1 / x,
       
       (ln (− x)) ′ = (− x) ′ / − x = 1 / x,
(последнее равенство получено на основании правила дифференцирования
сложной функции), то производная данной функции выражается следующей
формулой:

                                                           1
                                      y ′ = (ln x ) ′ =      .                                     (29)
                                                           x

       Учитывая формулу (29), вычислим производную сложной функции
y = ln u , где u = f (x) - дифференцируемая функция.

                                                            u ′ f ′( x)
                                      y ′ = (ln u ) ′ =        =        , или
                                                            u    f ( x)

                                                           f ′( x)
                                      (ln f ( x) ) ′ =             .                               (30)
                                                           f ( x)

       Определение: Производная (ln f ( x) ) ′ называется логарифмической
производной функции f (x) .
       Вычислим с помощью логарифмической производной производную по-
казательно-степенной функции y = u ( x) v ( x ) , где u и v – некоторые функции от
x (u>0), имеющие в данной точке x производные u ′ (x) и v ′ (x) . Так как
ln y = v( x) ln u ( x) , то, используя формулу (30), получаем

                        y′                                                     u ′( x)
                           = [ v( x) ln u ( x)]′ = v ′ ( x) ln u ( x) + v ( x)         .
                        y                                                      u ( x)

Отсюда, учитывая, что y = u ( x) v ( x ) , получаем формулу для производной пока-
зательно-степенной функции
                                                              u ′( x) 
               y ′ = u ( x) v ( x ) v ′( x) ln u ( x) + v( x)           ,
                                                              u ( x) 

              y ′ = v( x) ⋅ u ( x) v ( x ) −1 ⋅ u ′( x) + u ( x) v ( x ) ⋅ ln u ( x) ⋅ v ′( x) .   (31)

Таким образом, для того чтобы найти производную показательно–степенной
функции, достаточно дифференцировать её сначала как степенную, а затем как

                                                                                                      79

Страницы