Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 80 стр.

показательную, и полученные результаты сложить (напомним, что для сложной
функции     справедливы    следующие      формулы     (u n ) ′ = nu n −1u ′ и
 (a u ) ′ = a u ⋅ ln a ⋅ u ′ ).
        Пример 66. Вычислить производную функции y = x x .
        Р е ш е н и е . y = x x , ln y = x ⋅ ln x ,
                   y′                                                      1
        (ln y ) ′ = ; ( x ⋅ ln x) ′ = x ′ ln x + x(ln x) ′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ = ln x + 1 ⇒
                   y                                                       x
         y′
            = ln x + 1 ⇒ y ′ = y (1 + ln x) ⇒ y ′ = x x (1 + ln x) .
         y

        О т в е т : y ′ = x x (1 + ln x).
                                                                                           2
        Пример 67. Вычислить производную функции y = (sin x) x .
                                         2
        Р е ш е н и е . y = sin x x , ln y = x 2 ln sin x,
                     y′                                                                            cos x 
         (ln y)′ =      ; ( x2 ln sin x)′ = ( x2 )′ ln sin x + x2 (ln sin x)′ = 2x ln sin x + x2         =
                     y                                                                             sin x  
         = 2x ln sin x + x2ctgx ;
                                                     2
         y′ = y(2x ln sin x + x2ctgx) = (sin x) x (2x ln sin x + x2ctgx).
                                         2
        О т в е т : y ′ = (sin x) x (2 x ln sin x + x 2 ctgx) .




80