Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 82 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

82
Эта функция называется обратной для функции ).(
x
f
y
=
Очевидно, что и
функция )(
x
f
y = является обратной для функции ).( y
x
ϕ
=
Рассуждая анало-
гичным образом, можно доказать, что и убывающая функция имеет обратную.
Замечание 1. Если возрастающая (или убывающая) функция
)(
x
f
y = непрерывна на отрезке
[
]
,,ba причём ,)(,)( db
f
ca
f
=
=
то обратная
функция определена и непрерывна на отрезке
[
]
., dc
Пример 68. Пусть дана функция .
3
xy = Эта функция - возрастающая
на бесконечном интервале
+
∞
<
<
∞
−
x
и она имеет обратную функцию
.
3
yx =
Заметим, что обратная функция )( y
x
ϕ
=
находится путём решения
уравнения )(
x
f
y = относительно .
x
Пример 69. Пусть дана функция .
x
ey = Эта функция – возрастающая
на бесконечном интервале
.
+
∞
<
<
∞−
x
Она имеет обратную .ln y
x
= Область
определения обратной функции
.0
∞
<
<
y
Замечание 2. Если функция
)(
x
f
y
=
не является ни возрастаю-
щей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько
обратных функций (рисунок 28).
Теорема 42. Если для функции )(
x
f
y
=
существует обратная функция
)(
y
x
ϕ= , которая в рассматриваемой точке y имеет производную )( yϕ
′
, от-
личную от нуля, то в соответствующей точке
x
функция )(
x
f
y
=
имеет произ-
водную ),(
xf
′
равную ,
)(
1
yϕ
′
т. е. справедлива формула
.
)(
1
)(
y
xf
ϕ
′
=
′
(34)
y
=х
3
3
ух =
0
x
y
0
Рисунок 28
1
1
y
=ln
x
y
=e
x
x
=ln
у
ℓ
x
y
Эта функция называется обратной для функции y = f (x). Очевидно, что и
функция y = f (x) является обратной для функции x = ϕ( y ). Рассуждая анало-
гичным образом, можно доказать, что и убывающая функция имеет обратную.
         З а м е ч а н и е 1 . Если возрастающая (или убывающая) функция
 y = f (x) непрерывна на отрезке [a, b], причём f (a ) = c, f (b) = d , то обратная
функция определена и непрерывна на отрезке [c, d ].
         Пример 68. Пусть дана функция y = x 3 . Эта функция - возрастающая
на бесконечном интервале − ∞ < x < +∞ и она имеет обратную функцию
x = 3 y.
         Заметим, что обратная функция x = ϕ( y ) находится путём решения
уравнения y = f (x) относительно x.
        Пример 69. Пусть дана функция y = e x . Эта функция – возрастающая
на бесконечном интервале − ∞ < x < +∞. Она имеет обратную x = ln y. Область
определения обратной функции 0 < y < +∞.
        З а м е ч а н и е 2 . Если функция y = f ( x) не является ни возрастаю-
щей, ни убывающей на некотором интервале, то она может иметь несколько
обратных функций (рисунок 28).
        Теорема 42. Если для функции y = f ( x) существует обратная функция
x = ϕ( y ) , которая в рассматриваемой точке y имеет производную ϕ′( y ) , от-
личную от нуля, то в соответствующей точке x функция y = f ( x) имеет произ-
                              1
водную f ′( x), равную              , т. е. справедлива формула
                            ϕ′( y )
                                                  1
                                      f ′( x) =         .                  (34)
                                                ϕ′( y )




                                                      y
                      y                                         y=ex
                              y =х3                             x=lnу
                              х=3 у


                                                   0 1                  y=lnx

                                    x                                           x
                          0                                 1           ℓ




                                  Рисунок 28
82

Страницы