Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

83
Доказательство: Возьмём приращение ,y
∆
тогда на основании
(33)
).()(
yyy
x
ϕ
−
∆
+
ϕ
=
∆
так как )( yϕ есть функция монотонная, то .0
≠
∆
x
Напишем тождество
.
1
y
x
x
y
∆
∆
=
∆
∆
(35)
Так как функция )( yϕ непрерывна, то 0→
∆
x
при .0→
∆
y Переходя к пределу
при 0
→∆y в обеих частях равенства (35), получим:
y
x
x
y
′
=
′
1
или
,
)(
1
)(
y
xf
ϕ
′
=
′
что и требовалось доказать.
Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.
Пример 70. у = е
х
. Обратной для этой функции является функция
x = lny. Мы уже доказали, что
()
y
yx
y
1
ln
=
′
=
′
. Поэтому согласно сформулиро-
ванной выше теореме
х
y
x
еу
x
y ==
′
=
′
1
. Итак,
(
)
хх
ее =
′
.
Пример 71. y=arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = siny. Эта
функция в интервале – π/2 <
y < π/2 монотонна. Её производная yх cos=
′
не
обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной
обратной функции
yx
y
y
x
cos
11
=
′
=
′
. Но на
()
22
1sin1cos2/;2/ xyy −=−=−
ππ
. Поэтому
()
2
1
1
arcsin
x
x
−
=
′
.
Пример 72. y=arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет ус-
ловию существования обратной функции на интервале – π/2 <
y < π/2. При этом
обратная функция
x=tg y монотонна. По ранее доказанному
y
x
2
cos
1
=
′
. Сле-
довательно,
yy
2
cos=
′
. Но
22
2
1
1
1
1
cos
xytg
y
+
=
+
=
.
Поэтому
()
2
1
1
x
arctgx
+
=
′
. 
       Д о к а з а т е л ь с т в о : Возьмём приращение ∆y, тогда на основании
(33)
                                      ∆x = ϕ( y + ∆y ) − ϕ( y ).

так как ϕ( y ) есть функция монотонная, то ∆x ≠ 0. Напишем тождество

                                        ∆y   1
                                           =    .                        (35)
                                        ∆x ∆x
                                             ∆y

Так как функция ϕ( y ) непрерывна, то ∆x → 0 при ∆y → 0. Переходя к пределу
при ∆y → 0 в обеих частях равенства (35), получим:
                                     1                   1
                           y ′x =        или f ′( x) =         ,
                                    x ′y               ϕ′( y )
что и требовалось доказать.
       Рассмотрим применение этой теоремы на примерах.
       Пример 70. у = ех. Обратной для этой функции является функция
                                                    1
x = lny. Мы уже доказали, что x ′y = (ln y )′ = . Поэтому согласно сформулиро-
                                                    y
ванной выше теореме y ′x =
                               1
                              x ′y
                                                      ( )′
                                   = у = е х . Итак, е х = е х .

      Пример 71. y=arcsin x. Рассмотрим обратную функцию x = siny. Эта
функция в интервале – π/2 < y < π/2 монотонна. Её производная х ′ = cos y не
обращается в этом интервале в нуль. Следовательно, по теореме о производной
                         1     1
обратной функции y ′x =     =      . Но на
                        x ′y cos y
       (− π / 2; π / 2 )   cos y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2 . Поэтому

                                       (arcsin x )′ = 1 .
                                                      1 − x2

      Пример 72. y=arctg x. Эта функция по определению удовлетворяет ус-
ловию существования обратной функции на интервале – π/2 < y < π/2. При этом
                                                                  1
обратная функция x=tg y монотонна. По ранее доказанному x ′ =          . Сле-
                                                               cos 2 y
                                             1         1
довательно, y ′ = cos 2 y . Но cos 2 y =           =        .
                                         1 + tg 2 y 1 + x 2
                                   1
      Поэтому (arctgx )′ =             .
                                1 + x2


                                                                            83

Страницы