Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

81
20 Дифференцирование обратной функции
Определение: Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором
отрезке, если большему значению аргумента х из этого отрезка соответствует
большее значение функции, т.е. если x
2
> x
1
, то f(x
2
) > f(x
1
).
Определение: Функция называется убывающей на некотором отрезке,
если меньшему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее
значение функции, т.е. если x
2
< x
1
, то f(x
2
) > f(x
1
).
Пусть дана возрастающая или убывающая функция
),(
x
f
y
=
определённая на некотором отрезке )(],[ baba
<
. Пусть .)(,)( db
f
ca
f
=
=
Для определённости будем рассматривать возрастающую функцию (рисунок
27).
Рассмотрим два различных значения
1
x и ,
2
x принадлежащих отрезку
].,[ ba Из определения возрастающей функции следует, что если
21
xx
<
и
),(),(
2211
xfyxfy == то .
21
yy
<
Следовательно, двум различным значе-
ниям
1
x и
2
x соответствуют два различных значения функции .
21
yиy
Справедливо и обратное, т. е. если ,
21
yy
<
),(),(
2211
xfyxfy =
=
то из
определения возрастающей функции следует, что
21
xx
<
. Таким образом,
между значениями
x
и соответствующими им значениями y устанавливается
взаимно однозначное соответствие.
Рассматривая эти значения y как значения аргумента, а значения
x
как значе-
ния функции, получаем
x
как функцию y :
).( y
x
ϕ
=
(33)
х
0
Рисунок 27
d
с
у
2
у
1
b
х
2
х
1
а
у
      20 Дифференцирование обратной функции

       Определение: Функция у = f(x) называется возрастающей на некотором
отрезке, если большему значению аргумента х из этого отрезка соответствует
большее значение функции, т.е. если x2 > x1, то f(x2) > f(x1).
       Определение: Функция называется убывающей на некотором отрезке,
если меньшему значению аргумента из этого отрезка соответствует большее
значение функции, т.е. если x2 < x1, то f(x2) > f(x1).
       Пусть дана возрастающая или убывающая функция

                                       y = f (x),

определённая на некотором отрезке [a, b] (a < b) . Пусть f (a ) = c, f (b) = d .
Для определённости будем рассматривать возрастающую функцию (рисунок
27).
                                   у
                                   d



                                            у1        у2

                             а            х1         х2    b   х
                                  0 с


                                    Рисунок 27

        Рассмотрим два различных значения x1 и x 2 , принадлежащих отрезку
[a, b]. Из определения возрастающей функции следует, что если x1 < x 2 и
y1 = f ( x1 ), y 2 = f ( x 2 ), то y1 < y 2 . Следовательно, двум различным значе-
ниям x1 и x 2 соответствуют два различных значения функции y1 и y 2 .
Справедливо и обратное, т. е. если y1 < y 2 , y1 = f ( x1 ), y 2 = f ( x 2 ), то из
определения возрастающей функции следует, что x1 < x 2 . Таким образом,
между значениями x и соответствующими им значениями y устанавливается
взаимно однозначное соответствие.
Рассматривая эти значения y как значения аргумента, а значения x как значе-
ния функции, получаем x как функцию y :

                                       x = ϕ( y ).                            (33)




                                                                                81

Страницы