Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 85 стр.

     21 Неявная функция и её дифференцирование

      Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой некото-
рым уравнением, которое символически можно обозначить так:

                            F ( x, y ) = 0 .                             (36)

Так, например, уравнение

                            x2 + y2 − a2 = 0                            (37)

неявно определяет следующие элементарные функции

                            y = a2 − x2,                                (38)

                           y = − a2 − x2.                               (39)

После подстановки в уравнение (37) этих значений, получаем тождество

                           x 2 + ( a 2 − x 2 ) − a 2 = 0.

Выражения (38) и (39) получились путём решения уравнения (37) относительно
 y . Но не всякую неявно заданную функцию можно представить явно, т. е.
можно представить в виде y = f ( x), где f ( x) есть элементарная функция.
       Так, например, функции, заданные уравнениями
                            y6 − y − x2 = 0
                                     1
или                         y − x − sin y = 0,
                                     4
не выражаются через элементарные функции, т. е. эти уравнения нельзя разре-
шить относительно y .
       Замечание: Термины «явная функция» и «неявная функция» характери-
зуют не природу функции, а способ её задания. Каждая явная функция y = f ( x)
может быть представлена и как неявная y − f ( x) = 0.
       Укажем правило нахождения производной неявной функции, не тре-
бующее преобразования её в явное выражение.
       Допустим, что функция задана уравнением

                            x 2 + y 2 − a 2 = 0.

      Дифференцируя обе части этого тождества по x , считая, что y есть
функция от x , получим (пользуясь правилом дифференцирования сложной
функции):

                                                                           85