Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

87
22 Параметрическое задание функции и её дифференцирование
22.1 Параметрическое задание функции
Пусть даны две функции
)(),(
t
y
t
x
ψ
=
ϕ
= (40)
одной независимой переменной ,
t
определённые и непрерывные в одном и том
же промежутке. Если )(
t
x
ϕ= строго монотонна, то обратная к ней функция
)(
x
t
Φ= однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому y можно
рассматривать как функцию, зависящую от переменной
x
посредством пере-
менной
t
, называемой параметром:
)].([
x
y
Φ
ψ
=
В этом случае говорят, что функция y от
x
задана параметрически с помощью
уравнений (40) .
Пример 73. Пусть ).0(sin,cos
π
≤
≤
=
=
t
t
r
y
t
r
x
Так как функция
t
r
cos= убывает при ,0 π≤≤
t
то данные уравнения задают параметрически
функцию
y от
x
. Если выразить
t
через
x
из первого уравнения и подставить
во второе, то получим искомую функцию переменной
x
в явном виде.
Это ещё легче сделать, если заметить, что
.)sin(cos
222222
rttryx =+=+
Отсюда
22
xry −= или .
22
xry −−=
π≤≤π−−=
π≤≤−=
2,
,0,
22
22
txry
txry
Пример 74. Пусть
(
)
.20sin,cos
π
≤
≤
=
= ttbytax
Данные равенства являются параметрическими уравнениями эллипса.
Исключая из этих уравнений параметр
t (разрешая их относительно
t
cos и
t
sin ,
возводя полученные равенства в квадрат и складывая), получаем
.1//1sincos)/()/(
22222222
эллипсауравнениеbyaxилиttbyax −=+=+=+
22.2 Производная функции, заданной параметрически
Пусть функция
у от х задана параметрическими уравнениями:
(
)
()
.
,
,
0
Ttt
ty
tx
≤≤
=
=
ψ
ϕ
(41) 
       22 Параметрическое задание функции и её дифференцирование

       22.1 Параметрическое задание функции

        Пусть даны две функции

                                  x = ϕ(t ),     y = ψ (t )                               (40)

одной независимой переменной t , определённые и непрерывные в одном и том
же промежутке. Если x = ϕ(t ) строго монотонна, то обратная к ней функция
t = Φ ( x) однозначна, также непрерывна и строго монотонна. Поэтому y можно
рассматривать как функцию, зависящую от переменной x посредством пере-
менной t , называемой параметром:

                                               y = ψ[Φ ( x)].

В этом случае говорят, что функция y от x задана параметрически с помощью
уравнений (40) .
        Пример 73. Пусть x = r cos t , y = r sin t (0 ≤ t ≤ π ). Так как функция
x = r cos t убывает при 0 ≤ t ≤ π, то данные уравнения задают параметрически
функцию y от x . Если выразить t через x из первого уравнения и подставить
во второе, то получим искомую функцию переменной x в явном виде.
        Это ещё легче сделать, если заметить, что
               x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 t + sin 2 t ) = r 2 .
Отсюда y = r 2 − x 2 или y = − r 2 − x 2 .
         y = r 2 − x 2 , 0 ≤ t ≤ π,
         
          y = − r 2 − x 2 , π ≤ t ≤ 2π

           Пример 74. Пусть x = a cos t , y = b sin t (0 ≤ t ≤ 2π ).
           Данные равенства являются параметрическими уравнениями эллипса.
Исключая из этих уравнений параметр t (разрешая их относительно cos t и sin t ,
возводя полученные равенства в квадрат и складывая), получаем
( x / a ) 2 + ( y / b) 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 или x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 − уравнение эллипса.

       22.2 Производная функции, заданной параметрически

        Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями:

                                   x = ϕ (t ),
                                               t0 ≤ t ≤ T.                                (41)
                                   y = ψ (t ),

                                                                                              87

Страницы