Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 88 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

88
Предположим, что эти функции имеют производные и что функция
)(
t
x
ϕ= имеет обратную )(
x
t
Φ= , которая также имеет производную. Тогда оп-
ределенную параметрическими уравнениями функцию
у=f(x) можно рассмат-
ривать как сложную функцию
),(),(
x
t
t
y
Φ
=
ψ
=
t – промежуточный аргумент.
По правилу дифференцирования сложной функции получим:
).()( xttyy
xtxtx
Φ
′
′
=
′
′
=
′
ψ
(42)
На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует:
)(
1
)(
t
x
t
x
ϕ
′
=Φ
′
Подставляя последнее выражение в равенство (42), получаем:
)(
)(
t
t
y
x
ϕ
′
ψ
′
=
′
или
t
t
x
x
y
y
′
′
=
′
(43)
Выведенная формула дает возможность находить производную
x
y
′
от
функции, заданной параметрически, не находя выражение непосредственной
зависимости
y от x.
Пример 75. Функция у от х задана параметрическими уравнениями:
()
π
≤≤
=
=
t
tay
tax
0
,sin
,cos
.
Найти производную
:
dx
dy
1) при любом значении t; 2) при
4
π
=t
.
Решение. 1)
()
()
tctg
ta
ta
ta
ta
y
x
−=
−
=
′
′
=
′
sin
cos
cos
sin
; 2)
)()
14/ −=
−
=
′
π
ctgty
x
. 
        Предположим, что эти функции имеют производные и что функция
x = ϕ(t ) имеет обратную t = Φ ( x) , которая также имеет производную. Тогда оп-
ределенную параметрическими уравнениями функцию у=f(x) можно рассмат-
ривать как сложную функцию

                                             y = ψ(t ), t = Φ ( x),

t – промежуточный аргумент.
       По правилу дифференцирования сложной функции получим:

                                     y ′x = y t′ t ′x = ψ t′ (t ) Φ ′x ( x).                     (42)

На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует:

                                                                   1
                                                 Φ ′x ( x) =
                                                                ϕ′t (t )

         Подставляя последнее выражение в равенство (42), получаем:

                                                             ψ ′(t )
                                                    y ′x =
                                                             ϕ′(t )

или
                                                         y t′
                                                    y ′x =                                         (43)
                                                         xt′
        Выведенная формула дает возможность находить производную y ′x от
функции, заданной параметрически, не находя выражение непосредственной
зависимости y от x.
        Пример 75. Функция у от х задана параметрическими уравнениями:
 x = a cos t ,
               (0 ≤ t ≤ π ) .
 y = a sin t ,
                                   dy                                                     π
        Найти производную                : 1) при любом значении t; 2) при t = .
                                   dx                                                     4
                               (asin t )′ a cos t
        Решение. 1) y′x =                 =           = −ctg t ; 2) ( y ′x )t = −ctg(π / 4) = −1 .
                               (acost ) ′   − a sin t




88

Страницы