Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 89 стр.

      23 Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей 0 / 0 и ∞ / ∞.

      Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения
двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия
неопределённостей вида 0 / 0 и ∞ / ∞. Сейчас рассмотрим новое правило рас-
крытия этих неопределённостей.
      Теорема 43 (правило Лопиталя). Пусть функции f ( x) и g ( x) диффе-
ренцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может,
самой точки a, и пусть lim f (x) = lim g(x) = 0 или lim f ( x) = lim g ( x) = ∞. Тогда,
                          x→a          x→a                  x→a      x→a

                                                                                  f ′( x)
если существует предел отношения производных этих функции lim                             , то
                                                                            x→a   g ′( x)
                                                           f ( x)
существует и предел отношения самих функции                       при x → a, причём
                                                           g ( x)

                                       f ( x)         f ′( x)
                                 lim          = lim           .                         (44)
                                x→a    g ( x) x→a     g ′( x)

        Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать
следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бес-
конечно больших величин равен пределу отношения их производных.
        Замечание: Отметим, что формула (44) справедлива только в том случае,
если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоя-
щий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенст-
ва, не существует.
                               x + sin x
        Пример 76. Найти lim             .
                          x →∞     x
                                      x + sin x        sin x 
        Этот предел существует: lim             = lim 1 +     = 1.
                                 x →∞      x      x →∞    x 
        Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cosx при x → ∞ не стремится
ни к какому значению.
        Заметим, что если отношение производных опять представляет собой
неопределённость вида 0 / 0 или ∞ / ∞ , то можно снова применить сформули-
рованную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так да-
лее.
        Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопреде-
лённостей: ∞ ⋅ ∞; 0 ⋅ ∞.
       Для раскрытия неопределённостей 1∞ , 10 , ∞ 0 нужно прологарифмиро-
вать данную функцию и найти предел её логарифма.




                                                                                           89