Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

90
Пример 77.
.
2
1
cos2
sin
lim
sin
cos
2
1
lim
sinln21
ln
lim
000
===
∞
∞
=
+
→→→
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
Пример 78.
.8
2
4sin4
lim
0
04cos1
lim
0
2
0
==
=
−
→→
x
x
x
x
xx
Пример 79.
[]
.0lim
1
1
lim
0
0
1
ln
lim0lnlim
0
2
000
=−=
−
=
==∞⋅=
→→→→
x
x
x
x
x
xx
xxxx
[]
.
2
1
1ln1
1
lim
1ln
1
lim
0
0
ln)1(
1ln
lim
ln
1
1
1
lim
1
111
−=
++
−
=
=
−+
−
=
=
−
+−
=∞−∞=
−
−
→
→→→
x
xxx
x
xx
xx
xx
x
xxx
80.Пример
Пример 81.
[]
.)1(lim
0
1
2
0
∞=+
→
x
x
x
Обозначим
x
xy
1
2
)1( += и прологарифмируем это равенство
.
)1ln(
)1ln(
1
ln
2
2
x
x
x
x
y
+
=+= Найдём
.0
2
2
lim
1
2
lim
)1ln(
limlnlim
2
2
==
+
=
∞
∞
=
+
=
+∞→+∞→+∞→+∞→
x
x
x
x
x
y
xxxx
Так как функция
yln непрерывна, то
.0lnlimlimln
=
=
+∞→+∞→
yy
xx
Следовательно,
0
lim ey
x
=
+∞→
или .1)1(lim
1
2
=+
+∞→
x
x
x
Задания для самостоятельного решения
.
Найти пределы функций
.
1)
.
52
32
lim)4;
4
3
lim)3;
4
71
lim)2
;),3),2):
1543
352
lim)1
23
004
000
2
2
0
+
→→→
→
+
−
−
−−−
∞===
−−
−−
n
xxx
xx
n
n
xarctg
x
x
xx
хвхбxапри
xx
xx
                                                               1
                               ln x            ∞                            sin x    1
         Пример 77. lim                     =   = lim x = lim                       = .
                     x →0 1 + 2 ln sin x        ∞  x→0 2 cos x x→0 2 x cos x 2
                                                              sin x
                          1 − cos 4 x  0              4 sin 4 x
         Пример 78. lim         2
                                        =  0  x →0 2 x = 8.
                                                 =  lim
                     x →0     x
                                                                     1
                                                 ln x  0 
         Пример 79. lim x ln x = [0 ⋅ ∞] = lim        =   = lim x = − lim x = 0.
                    x→0                     x→0 1        0  x→0 − 1       x→0
                                                   x                  2
                                                                    x
                            1         1                     ln x − x + 1 0           1− x
         Пример 80. lim          −        = [∞ − ∞] = lim                =   = lim             =
                      x→1  x − 1 ln x                   x→1 ( x − 1) ln x 0 x→1 x ln x + x − 1

                               −1            1
                    = lim               =− .
                       x→11 + ln x + 1       2
                                             1
         Пример 81.        lim (1 +
                           x →0
                                          2 x
                                         x )      [ ]
                                                 = ∞0 .
                                             1
                                          2 x
         Обозначим         y = (1 +      x )       и      прологарифмируем       это        равенство
       1        2     ln(1 + x 2 )
ln y = ln(1 + x ) =                . Найдём
       x                   x
                  ln(1 + x 2 )  ∞            2x           2
 lim ln y = lim               =   = lim           = lim      = 0.
x → +∞     x → +∞      x          ∞  x →+∞ 1 + x 2 x →+∞ 2 x
Так как функция ln y непрерывна, то ln lim y = lim ln y = 0.                      Следовательно,
                                                        x → +∞   x → +∞
                                     1
 lim y = e 0 или lim (1 +       x2 ) x   = 1.
x → +∞                 x → +∞



         Задания для самостоятельного решения.
         Найти пределы функций.
                     2x 2 − 5x − 3
            1) lim                    при : а ) x 0 = 2, б ) х 0 = 3, в ) х 0 = ∞;
              x → x0 3 x 2 − 4 x − 15
         1)                                                                      3n + 2
                       x −1 − 7 − x                  3x                2n − 3 
            2) lim                     ; 3) lim            ; 4) lim                   .
               x →4        x−4              x →0 arctg 4 x        x →0 2n + 5 




90

Страницы