Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 64 стр.

       Таким образом, для функций одной переменной дифференцируемость и
существование производной – понятия равносильные. Именно поэтому опера-
цию нахождения производной часто называют дифференцированием.
       Рассмотрим на рисунке 22 точки а, b, c. В точке а при ∆х → 0 отношение
∆y
    не имеет предела (т.к. односторонние пределы различны при ∆х → 0-0 и
∆x
∆х →0+0). В точке А графика нет определенной касательной, но есть две раз-
личные односторонние касательные с угловыми коэффициентами к1 и к2. Такой
                                                                          ∆y
тип точек называют угловыми точками. В точке В при ∆х → 0 отношение
                                                                          ∆x
                                                                 ∆y
является знакопостоянной бесконечно большой величиной lim           = +∞.
                                                           ∆x →0 ∆x
       Функция имеет бесконечную производную. В этой точке график имеет
вертикальную касательную. Тип точки – "точка перегиба" вертикальной каса-
тельной.
                       у




                                                        С
                                   A             В



                          0        a         b        c       х

                                   Рисунок 22

       В точке С односторонние производные являются бесконечно большими
величинами разных знаков. В этой точке график имеет две слившиеся верти-
кальные касательные. Тип - "точка возврата" с вертикальной касательной – ча-
стный случай угловой точки.
       Пример 58.
       1 Рассмотрим функцию у = |x| (рисунок 23). Эта функция непрерывна в
точке х = 0, т.к. lim x = 0 = f (0 ). Покажем, что она не имеет производной в этой
                 x →0
точке. f (0 + ∆x ) = f (∆x ) = ∆x . Следовательно, ∆y = f (∆x ) − f (0 ) = ∆x . Но тогда
при ∆x<0 (т.е. при ∆x стремящемся к 0 слева).
                   ∆x               ∆x
           lim          = lim −           = −1 .
         ∆x →0 − 0 ∆x     ∆x →0 − 0 ∆x
                         ∆x               ∆x
а при ∆x>0. lim               = lim          = 1.
               ∆x →0 + 0 ∆x     ∆x →0 + 0 ∆x




64