Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

62
()
xf
x
y
tgtg
xx
′
=
∆
∆
=ϕ=α
→∆→∆ 00
limlim , (15)
т.е.
()
.
α
=
′
tgxf
Таким образом, геометрически y'(x
0
) представляет угловой коэффициент
касательной к графику функции )(
x
yy
=
в точке x
0
, т.е. при данном значении
аргумента х производная равна тангенсу угла, образованного касательной к
графику функции f(x) в соответствующей точке М
0
(х;у) с положительным на-
правлением оси Ох. В этом и состоит геометрический смысл производной.
Пример 57. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х
2
в
точке М(-1;1). Ранее мы уже видели, что (х
2
)'=2х. Но угловой коэффициент ка-
сательной к кривой есть tg α = y'|
x = -1
= –2.
13.3 Механический смысл производной
Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид
,
t
v
s
⋅= где s – путь, пройденный к моменту времени t, v – скорость равномер-
ного движения.
Однако большинство движений, происходящих в природе, неравномер-
но, поэтому в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет
зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени.
Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направле-
нии по закону s = s(t).
Отметим некоторый момент времени t
0
. К этому моменту точка прошла
путь s = s(t
0
). Определим скорость v материальной точки в момент времени t
0
.
Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t
0
+ ∆t. Ему
соответствует пройденный путь s = s(t
0
+ ∆t). Тогда за промежуток времени ∆t
точка прошла путь ∆s = s(t
0
+ ∆t) - s(t).
Рассмотрим отношение
.
cp
v
t
s
=
∆
∆
Оно называется средней скоростью в
промежутке времени ∆t. Средняя скорость не может точно охарактеризовать
быстроту перемещения точки в момент t
0
(т.к. движение неравномерное). Для
того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скоро-
сти, нужно взять меньший промежуток времени ∆t.
Скоростью движения в данный момент времени t
0
(мгновенной скоро-
стью) называется предел средней скорости в промежутке от t
0
до t
0
+ ∆t, когда
∆t → 0:
()
ts
t
s
v
x
′
=
∆
∆
=
→∆ 0
lim ,
т.е. скорость неравномерного движения – это производная от пройден-
ного пути по времени. В этом состоит механический смысл производной 
                                              ∆y
                        tgα = lim tgϕ = lim      = f ′( x ) ,              (15)
                              ∆x → 0    ∆x →0 ∆x
       т.е. f ′( x ) = tgα.
       Таким образом, геометрически y'(x0) представляет угловой коэффициент
касательной к графику функции y = y (x) в точке x0, т.е. при данном значении
аргумента х производная равна тангенсу угла, образованного касательной к
графику функции f(x) в соответствующей точке М0(х;у) с положительным на-
правлением оси Ох. В этом и состоит геометрический смысл производной.
       Пример 57. Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х2 в
точке М(-1;1). Ранее мы уже видели, что (х2)'=2х. Но угловой коэффициент ка-
сательной к кривой есть tg α = y'|x = -1 = –2.

      13.3 Механический смысл производной

          Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид
s = v ⋅ t , где s – путь, пройденный к моменту времени t, v – скорость равномер-
ного движения.
          Однако большинство движений, происходящих в природе, неравномер-
но, поэтому в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет
зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени.
          Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направле-
нии по закону s = s(t).
          Отметим некоторый момент времени t0. К этому моменту точка прошла
путь s = s(t0). Определим скорость v материальной точки в момент времени t0.
          Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t0 + ∆t. Ему
соответствует пройденный путь s = s(t0 + ∆t). Тогда за промежуток времени ∆t
точка прошла путь ∆s = s(t0 + ∆t) - s(t).
                                   ∆s
          Рассмотрим отношение         = v cp . Оно называется средней скоростью в
                                   ∆t
промежутке времени ∆t. Средняя скорость не может точно охарактеризовать
быстроту перемещения точки в момент t0 (т.к. движение неравномерное). Для
того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скоро-
сти, нужно взять меньший промежуток времени ∆t.
          Скоростью движения в данный момент времени t0 (мгновенной скоро-
стью) называется предел средней скорости в промежутке от t0 до t0 + ∆t, когда
∆t → 0:
                                          ∆s
                                v = lim        = s ′(t ) ,
                                    ∆x →0 ∆t
          т.е. скорость неравномерного движения – это производная от пройден-
ного пути по времени. В этом состоит механический смысл производной




62

Страницы