Введение в математический анализ. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Шептухина О.М - 60 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

60
Производная функции )(
x
f
y
=
в точке
0
x обозначается:
)(
0
xf
′
, )(
0
xy
′
.
Если для некоторого значения х
0
выполняется условие
=
∆
∆
→∆
x
y
x 0
lim
∞
+
(или =
∆
∆
→∆
x
y
x 0
lim
∞
−
),
то говорят, что в точке х
0
функция имеет бесконечную производную знака плюс
(или знака минус). В отличие от бесконечной производной определённую выше
производную функции иногда называют конечной производной. Если функция
)(
x
f
имеет конечную производную в каждой точке X
x
∈
, то производную
)(xf
′
можно рассматривать как функцию от х, также определённую на Х.
Из
определения производной вытекает и способ её вычисления.
Пример 56.
1 Найти производную функции у = х
2
а) в произвольной точке;
б) в точке х = 2.
а) 1. f(x+∆x) = (x+∆x)
2
=
(
)
2
2
2 xxxx ∆+∆+
2. ∆y= (x+∆x)
2
– х
2
= 2х ∆x +(∆ х)
2
3.
()
()
xxx
x
xxx
у
xx
22lim
2
lim
0
2
0
=∆+=
∆
∆+∆
=
′
→∆→∆
б) f' (2) = 4
2 Используя определение, найти производную функции
ху 21 += в
произвольной точке.
1.
()
(
)
xxxxf ∆++=∆+ 21
2.
()
xxxy 2121 +−∆++=∆
3
()
xxxxx
x
x
xxx
dx
dy
xx
21
1
21221
2
lim
21221
lim
00
+
=
++∆++∆
∆
=
∆
+−∆++
=
→∆→∆
13.2 Геометрический смысл производной
Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке. Пусть име-
ем кривую и на ней фиксированную точку М
0
(см. рисунок 20). Рассмотрим
другую точку М этой кривой и проведем секущую М
0
М. Если точка М начинает
перемешаться по кривой, а точка М
0
остается неподвижной, то секущая меняет
свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к
точке М
0
с любой стороны секущая стремится занять положение определенной
прямой М
0
Т, то прямая М
0
Т называется касательной к кривой в данной точке М
0
(рисунок 20). 
      Производная функции y = f (x) в точке x0 обозначается:

                                   f ′( x0 ) , y ′( x0 ) .

      Если для некоторого значения х0 выполняется условие

                                 ∆y                  ∆y
                            lim     = + ∞ (или lim      = − ∞ ),
                           ∆x →0 ∆x            ∆x →0 ∆x


то говорят, что в точке х0 функция имеет бесконечную производную знака плюс
(или знака минус). В отличие от бесконечной производной определённую выше
производную функции иногда называют конечной производной. Если функция
 f (x) имеет конечную производную в каждой точке x ∈ X , то производную
 f ′(x) можно рассматривать как функцию от х, также определённую на Х. Из
определения производной вытекает и способ её вычисления.
        Пример 56.
        1 Найти производную функции у = х2
          а) в произвольной точке;
          б) в точке х = 2.
          а) 1. f(x+∆x) = (x+∆x)2 = x 2 + 2 x∆x + (∆x )2
             2. ∆y= (x+∆x)2 – х2 = 2х ∆x +(∆ х)2
                           2 x∆x + (∆x )2
             3. у ′ = lim                 = lim (2 x + ∆x ) = 2 x
                     ∆x →0      ∆x          ∆x → 0
          б) f' (2) = 4
        2 Используя определение, найти производную функции у = 1 + 2 х в
произвольной точке.
             1. f ( x + ∆x ) = 1 + 2( x + ∆x )
            2. ∆y = 1 + 2( x + ∆x ) − 1 + 2 x
          dy       1+ 2x + 2∆x − 1+ 2x                2∆x               1
      3      = lim                     = lim                        =
          dx ∆x→0           ∆x                         (
                                        ∆x→0 ∆x 1+ 2x + 2∆x + 1+ 2x)  1 + 2x

     13.2 Геометрический смысл производной

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке. Пусть име-
ем кривую и на ней фиксированную точку М0 (см. рисунок 20). Рассмотрим
другую точку М этой кривой и проведем секущую М0М. Если точка М начинает
перемешаться по кривой, а точка М0 остается неподвижной, то секущая меняет
свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к
точке М0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной
прямой М0Т, то прямая М0Т называется касательной к кривой в данной точке М0
(рисунок 20).


60

Страницы