Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 102 стр.

sUMMIRUQ \TI NERAWENSTWA, POLU^AEM, ^TO DLINA LOMANOJ `
 QWLQET-
SQ INTEGRALXNOJ SUMMOJ rIMANA FUNKCII , KOTORAQ W SILU SDELANNYH
PREDPOLOVENIJ INTEGRIRUEMA NA [a; b]. sLEDOWATELXNO, d(
)
                                                        lim!0 `
 SU]EST-
WUET I                             Z bq
                  ` = d(
)
                        lim!0 `
 =      1 + f 0(x)2 dx:
                                    a
   4. dLINA PROSTRANSTWENNOJ KRIWOJ. pUSTX KRIWAQ , W R3 ZADANA SIS-
TEMOJ URAWNENIJ x = x(t); y = y(t); z = z(t) (t 2 [a; b]). pREDPOLAGAQ
FUNKCII x(t); y(t); z(t) NEPRERYWNYMI KUSO^NO-GLADKIMI, MOVNO DOKA-
ZATX, ^TO DLINA KRIWOJ , RAWNA
                        Zb
(2)                 ` = a [x0(t)2 + y0(t)2 + z0(t)2]1=2 dt:
wYWOD \TOJ FORMULY W NASTOQ]IJ MOMENT BYL BY HLOPOTNYM DELOM, I
MY DADIM EGO POZDNEE (x83). ~ASTNYM SLU^AEM (2) QWLQETSQ FORMULA,
DOKAZANNAQ W P. 3 (W \TOM SLU^AE z = 0 I ROLX PARAMETRA t IGRAET PERE-
MENNAQ x).
   5. pLO]ADX POWERHNOSTI WRA]ENIQ. pUSTX f (x) (a  x  b) | NEPRE-
RYWNAQ KUSO^NO-GLADKAQ FUNKCIQ (DLQ OPREDELENNOSTI PUSTX f (x)  0).
nAJDEM PLO]ADX  POWERHNOSTI, POLU^ENNOJ WRA]ENIEM GRAFIKA , FUNK-
CII f WOKRUG OSI Ox. pUSTX 
(a = x0 < x1 < : : : < xn = b) | RAZLO-
VENIE [a; b]. zAMENIW , NA LOMANU@ S UZLAMI W TO^KAH (xj ; f (xj )), MY
APPROKSIMIRUEM ISKOMU@ PLO]ADX PLO]ADX@ POWERHNOSTI, WOZNIKA@-
]EJ PRI WRA]ENII LOMANOJ. ~ASTX POWERHNOSTI WRA]ENIQ LOMANOJ, ZA-
KL@^ENNOJ MEVDU UZLAMI (xj,1; f (xj,1)); (xj ; f (xj )), ESTX BOKOWAQ POWERH-
NOSTX USE^ENNOGO KONUSA (rIS. 16), I EE PLO]ADX
    j = (f (xj ) + f (xj,1 )) [(xj , xj,1 )2 + (f (xj ) , f (xj,1 ))2]1=2
       = (f (xj ) + f (xj,1 )) [1 + f 0(j )2]1=2 (xj , xj,1); j 2 [xj,1; xj ]:
oTS@DA ISKOMAQ PLO]ADX (S U^ETOM OBOZNA^ENIQ (1))
      lim!0 P j = d(
)
                     lim!0  P (f (xj ) + f (xj,1 )) (j )(xj , xj,1 ),
              n                n
 = d(
)
            j =1             j =1
                                                                  j 2 [xj,1; xj ].


                                        102