Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 148 стр.

         |lementy ob}ej topologii
   x92. mETRI^ESKOE PROSTRANSTWO
   1. pUSTX M | MNOVESTWO. fUNKCIQ d : M  M !          R   NAZYWAETSQ
METRIKOJ W M , ESLI ONA OBLADAET SWOJSTWAMI:
 (I) d(x; y)  0; d(x; y) = 0 , x = y,
 (II) d(x; y) = d(y; x),
(III) d(x; y)  d(x; z) + d(z; y),
 GDE x; y; z 2 M PROIZWOLXNY. mNOVESTWO M S FIKSIROWANNOJ W NEM MET-
RIKOJ d NAZYWAETSQ METRI^ESKIM PROSTRANSTWOM.
    2. pUSTX (M; d) | METRI^ESKOE PROSTRANSTWO. mNOVESTWO B" (x) 
fy 2 M j d(y; x) < "g NAZYWAETSQ OTKRYTYM [AROM RADIUSA " > 0 S
CENTROM W TO^KE x. mNOVESTWO X ( M ) NAZYWAETSQ OTKRYTYM, ESLI
8x 2 X 9" > 0 (B"(x)  X ). ~EREZ B" [x] BUDEM OBOZNA^ATX MNOVESTWO
fy 2 M j d(y; x)  "g. oSNOWNYE SWOJSTWA OTKRYTYH MNOVESTW:
    3. ;; M | OTKRYTYE MNOVESTWA.
    4. eSLI X1 ; : : : ; Xn OTKRYTY, TO
                                         Tn X OTKRYTO.
                                             i
                                        i=1
    5. eSLI (Xi )i2I | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO OTKRYTYH MNOVESTW,
TO S Xi OTKRYTO.
   i2I
   6. z A M E ^ A N I E. dLQ L@BYH DWUH RAZLI^NYH TO^EK x; y W METRI-
^ESKOM PROSTRANSTWE SU]ESTWUET " > 0 TAKOE, ^TO B"(x) \ B" (y) = ;.
   p R I M E R Y. 7. pUSTX E | EWKLIDOWO PROSTRANSTWO. fUNKCIQ
d(x; y) = kx , yk (x; y 2 E ) QWLQETSQ METRIKOJ W E . sOOTWETSTWU@]EE
PONQTIE OTKRYTOGO MNOVESTWA SOWPADAET S WWEDENNYM W 63.1 PONQTIEM
OTKRYTOGO MNOVESTWA W EWKLIDOWOM PROSTRANSTWE.
   8. gILXBERTOWO PROSTRANSTWO `2 . tO^KAMI \TOGO PROSTRANSTWA QW-
LQ@TSQ KOMPLEKSNYE POSLEDOWATELXNOSTI x = (x1; x2; : : :), DLQ KOTORYH


                                 148