Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 150 стр.

    x93. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO
    1. kAK MY UVE WIDELI, OSNOWNYE PONQTIQ MATEMATI^ESKOGO ANALIZA
(PREDEL FUNKCII, NEPRERYWNOSTX) MOGUT BYTX SFORMULIROWANY W TERMI-
NAH OKRESTNOSTEJ. oPREDELENIE OKRESTNOSTI TO^KI DO SIH POR SWQZYWA-
LOSX S PONQTIEM RASSTOQNIQ. dALXNEJ[EE RAZWITIE ANALIZA W BESKONE^-
NOMERNYH PROSTRANSTWAH ESTESTWENNO POSTAWILO NA POWESTKU DNQ SOZDA-
NIE KONCEPCII PROSTRANSTWA, W KOTOROM S KAVDOJ TO^KOJ SWQZYWALASX BY
SISTEMA OKRESTNOSTEJ, NE OBQZATELXNO SWQZANNAQ S KAKIM-LIBO RASSTOQ-
NIEM. |TO PRIWELO K PONQTI@ TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA. nE IMEQ
ZDESX WOZMOVNOSTI UGLUBLQTXSQ W ISTORI@ WOPROSA, OTMETIM, ^TO WYBOR
AKSIOM TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA, BYL REZULXTATOM DLITELXNYH PO-
ISKOW.
    pRI OPREDELENII TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA UDOBNO ZA PERWI^NOE
BRATX PONQTIE OTKRYTOGO MNOVESTWA. oDNAKO W PRILOVENIQH ^ASTO UDOB-
NEE ZADAWATX TOPOLOGI@, ISHODQ IZ PONQTIQ OKRESTNOSTI TO^KI. nIVE MY
IZLOVIM OBA PODHODA.
    2. pUSTX E | MNOVESTWO I UKAZANA SISTEMA T ^ASTEJ MNOVESTWA E ,
OBLADA@]AQ SWOJSTWAMI:
  (I) ;; E 2 T ,
(II) ESLI X1; : : :; Xn 2 T , TO T Xi 2 T ,
                                 n
                               i=1
(III) ESLI (Xi)i2I | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO IZ T , TO S Xi 2 T .
                                                     i2I
w \TOM SLU^AE SISTEMA T NAZYWAETSQ TOPOLOGIEJ W E , A \LEMENTY SISTE-
MY T NAZYWA@TSQ OTKRYTYMI MNOVESTWAMI. mNOVESTWO E S FIKSIRO-
WANNOJ W NEM TOPOLOGIEJ T NAZYWAETSQ TOPOLOGI^ESKIM PROSTRANSTWOM
I OBOZNA^AETSQ (E; T ).
   ~ITATELX, PO-WIDIMOMU, UVE OBRATIL WNIMANIE NA TO, ^TO ZA AKSI-
OMY TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA WZQTY OSNOWNYE SWOJSTWA OTKRYTYH
MNOVESTW W METRI^ESKOM PROSTRANSTWE (SM. 92.2).
   p R I M E R Y. 3. sISTEMA WSEH OTKRYTYH PODMNOVESTW METRI^ESKOGO
PROSTRANSTWA QWLQETSQ TOPOLOGIEJ. w \TOM SLU^AE GOWORQT, ^TO TOPOLO-
GIQ OPREDELQETSQ METRIKOJ.

                                     150