Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 151 стр.

   4.   sEMEJSTWO WSEH PODMNOVESTW E QWLQETSQ TOPOLOGIEJ W E . |TA TO-
POLOGIQ NAZYWAETSQ DISKRETNOJ . oTMETIM, ^TO DISKRETNAQ TOPOLOGIQ
SOWPADAET S TOPOLOGIEJ, OPREDELQEMOJ DISKRETNOJ METRIKOJ. tOPOLOGIQ
T = f;; E g NAZYWAETSQ TRIWIALXNOJ TOPOLOGIEJ W E .
     x94. sWOJSTWA OKRESTNOSTEJ
     1. pUSTX T | TOPOLOGIQ W E . mNOVESTWO V ( E ) NAZYWAETSQ OKREST-
NOSTX@ TO^KI x 2 E , ESLI 9U 2 T (x 2 U  V ). mNOVESTWO X ( E )
OTKRYTO TTOGDA X | OKRESTNOSTX KAVDOJ SWOEJ TO^KI (!!).
     sEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE
(E; T ) OBOZNA^IM ^EREZ b(x). oNO OBLADAET SWOJSTWAMI (!!):
     2. \U 2 b(x); U  V " ) V 2 b(x),
     3. U; V 2 b(x) ) U \ V 2 b(x),
     4. 8U 2 b(x) (x 2 U ),
     5. 8U 2 b(x) 9V 2 b(x) 8y 2 V (U 2 b(y )).
 |TI SWOJSTWA POLNOSTX@ HARAKTERIZU@T TOPOLOGI@ T :
     6. t E O R E M A. pUSTX KAVDOMU \LEMENTU x MNOVESTWA E POSTAW-
LENO W SOOTWETSTWIE NEKOTOROE SEMEJSTWO b(x) ^ASTEJ E , OBLADA@]EE
SWOJSTWAMI 2 , 5. tOGDA W E SU]ESTWUET EDINSTWENNAQ TOPOLOGIQ T ,
DLQ KOTOROJ b(x) SLUVIT SISTEMOJ WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x (PRI
L@BOM x 2 E ).
  sEMEJSTWO T = fU  E j 8x 2 U (U 2 b(x))g QWLQETSQ TOPOLOGIEJ W E
(!!). oBOZNA^IM ^EREZ B(x) SEMEJSTWO WSEH OKRESTNOSTEJ TO^KI x W \TOJ
TOPOLOGII, TO ESTX
                   B(x) = fV  E j 9U 2 T (x 2 U  V )g:
pOKAVEM, ^TO b(x) = B(x). w SILU SWOJSTWA 2 B(x)  b(x). sPRAWEDLI-
WO I OBRATNOE WKL@^ENIE. pUSTX V 2 b(x) I U = fy 2 E j V 2 b(y)g.
uSTANOWIM, ^TO
                     (A) x 2 U; (B) U  V; (W) U 2 T :
|TO I BUDET OZNA^ATX, ^TO V 2 B(x). (A) O^EWIDNO.
     (B): y 2 U ) V 2 b(y) ) y 2 V SOGLASNO SWOJSTWU 4.
                                 151