Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 173 стр.

TAKAQ, ^TO K0  S2(U nf!g). oTS@DA (U ) 2 0g | KONE^NOE POKRYTIE
E 0: >
     9. u P R A V N E N I E. pUSTX E | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO,
E 0 = E [f!g. oPREDELIM W E 0 TOPOLOGI@ T 0 : U 2 T 0, ESLI U 2 T , LIBO U
ESTX MNOVESTWO WIDA f!g[ V , GDE V 2 T . uBEDITESX, ^TO T 0 | TOPOLOGIQ,
NO (E 0; T 0) NE QWLQETSQ, WOOB]E GOWORQ, KOMPAKTNYM RAS[IRENIEM E .
     x109. sWQZNOSTX
     1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO (E; T ) NAZYWAETSQ SWQZNYM, ESLI NE
SU]ESTWUET RAZBIENIQ E NA DWA NEPUSTYH OTKRYTYH MNOVESTWA, TO ESTX
E NELXZQ PREDSTAWITX W WIDE E = U [ V , GDE U; V 2 T ; U =     6 ;; V =6 ; I
U \V = ;. ~ASTX X TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA E NAZYWAETSQ SWQZNOJ,
ESLI W INDUCIROWANNOJ TOPOLOGII X | SWQZNOE PROSTRANSTWO. sWQZNOSTX
QWLQETSQ TOPOLOGI^ESKIM SWOJSTWOM (!!).
     p R I M E R Y. 2. oTREZOK [a; b]  R SWQZEN f\TO SLEDUET, NAPRIMER, IZ
LEMMY O WLOVENNYH OTREZKAHg.
     3. eWKLIDOWO PROSTRANSTWO Rn SWQZNO.
     oTMETIM TEPERX OSNOWNYE SWOJSTWA SWQZNYH MNOVESTW.
     4. eSLI (Xi )i2I | SEMEJSTWO SWQZNYH ^ASTEJ TOPOLOGI^ESKOGO PRO-
STRANSTWA E I T X 6= ;, TO S X | SWQZNAQ ^ASTX E .
                       i              i
                 i2I            i2I
    5. oBRAZ SWQZNOGO TOPOLOGI^ESKOGO PROSTRANSTWA PRI NEPRERYWNOM
OTOBRAVENII SWQZEN.
    6. zAMYKANIE SWQZNOGO MNOVESTWA SWQZNO.
  p.4. dOPUSTIM, NAPROTIW, ^TO Y = iS2I Xi NE SWQZNO. tOGDA SU]ESTWU@T
U1; U2 2 T TAKIE, ^TO
()        Y = Y1 [ Y2 (Yi = Y \ Ui 6= ; (i = 1; 2)); Y1 \ Y2 = ;:
pUSTX TO^KA x 2 T Xi PROIZWOLXNA. oNA PRINADLEVIT ODNOMU IZ SLAGA-
                  i2I
EMYH PRAWOJ ^ASTI RAWENSTWA (). pUSTX, NAPRIMER, x 2 Y1. pUSTX i0 2 I
TAKOWO, ^TO Xi0 \ U2 6= ; (TAKOE i0 SU]ESTWUET). nO TOGDA IMEET MESTO
RAWENSTWO, PROTIWORE^A]EE SWQZNOSTI Xi0 :
       Xi0 = Z1 [ Z2; GDE Zi = Xi0 \ Ui 6= ; (i = 1; 2) I Z1 \ Z2 = ;:
                                      173