Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 171 стр.

TO^KOJ ai 2 Ei (TAK KAK Ei | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO). rASSMOTRIM
TO^KU a = (ai)i2I 2 E . |TO NE PREDELXNAQ TO^KA SETI x I, SLEDOWATELXNO,
NAJDETSQ OTKRYTAQ OKRESTNOSTX TO^KI a
                                                  Y
                U = U1(ai1 )  : : :  Us(ais )      Ei ;
                                             i2I nfi1;:::;isg
KOTORAQ NE QWLQETSQ KORMU[KOJ SETI x. pOLOVIM
                                   Y
                U (k) = Uk (aik )  Ei; k 2 f1; : : :; sg;
                                  i6=ik
I ZAMETIM, ^TO HOTQ BY ODIN \CILINDR" U (k) PRINADLEVIT fESLI,
NAPROTIW, U (k) 62 ; k 2 f1; : : :; sg, TO DLQ KAVDOGO U (k) SOGLASNO (B)
NAJDETSQ 2 A TAKOE, ^TO U (k) [ U = E , NO TOGDA U (k) | LOWU[KA SETI
x, IBO
                8 (  ) x 2 E nU  E nU  U (k)):
sLEDOWATELXNO, LOWU[KOJ QWLQETSQ I MNOVESTWO U = T U (k), TOGDA KAK
                                                       s
                                                      k=1
U NE QWLQETSQ KORMU[KOJ DLQ xg. iTAK, PUSTX, SKAVEM, U (1) 2 , TO ESTX
U (1) = U 0 ( 0 2 A). tOGDA, S ODNOJ STORONY, U (1) | KORMU[KA DLQ x,
TAK KAK ai1 | PREDELXNAQ TO^KA SETI pi1 (x), A S DRUGOJ STORONY U (1) |
NE KORMU[KA DLQ x, TAK KAK 8 ( 0  ) x 2 E nU  E nU 0 ), TO
ESTX 0  ) pi1 (x ) 62 U1(ai1 ). pOLU^ENNOE PROTIWORE^IE DOKAZYWAET
TEOREMU. >
    x108. lOKALXNO KOMPAKTNYE PROSTRANSTWA
    1. tOPOLOGI^ESKOE PROSTRANSTWO NAZYWAETSQ LOKALXNO KOMPAKTNYM,
ESLI KAVDAQ EGO TO^KA OBLADAET KOMPAKTNOJ OKRESTNOSTX@. lOKALXNAQ
KOMPAKTNOSTX | \TO TOPOLOGI^ESKOE SWOJSTWO. qSNO TAKVE, ^TO WSQKOE
KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO QWLQETSQ LOKALXNO KOMPAKTNYM.
    p R I M E R Y. 2. Rn | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO.
    3. oTKRYTYJ [AR B1 () W Rn | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO.
    4. dISKRETNOE PROSTRANSTWO LOKALXNO KOMPAKTNO.
    pEREHODIM K IZU^ENI@ SWOJSTW LOKALXNO KOMPAKTNYH PROSTRANSTW.
    5. wSQKOE OTDELIMOE LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO REGULQR-
NO.
                                    171