Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 172 стр.

  pUSTX E | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, x 2 E I K | KOM-
PAKTNAQ OKRESTNOSTX TO^KI x. tAK KAK K | REGULQRNOE PODPROSTRANSTWO
E (105.8), SU]ESTWUET FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA F ZAMKNUTYH OKREST-
NOSTEJ TO^KI x W K ; TOGDA F | FUNDAMENTALXNAQ SISTEMA ZAMKNUTYH
OKRESTNOSTEJ x W E: >
    iSKL@^ITELXNO INTERESNYM FAKTOM QWLQETSQ TO OBSTOQTELXSTWO, ^TO
DOBAWLENIEM ODNOJ (\BESKONE^NO UDALENNOJ") TO^KI LOKALXNO KOMPAKT-
NOE PROSTRANSTWO MOVNO PREWRATITX W KOMPAKTNOE. pREDWARITELXNO RAS-
SMOTRIM NESKOLXKO PRIMEROW.
    p R I M E R Y. 6. sLEDU@]IE TRI LOKALXNO KOMPAKTNYH PROSTRANSTWA
POPARNO GOMEOMORFNY: R; (0; 1); S | OKRUVNOSTX BEZ ODNOJ TO^KI. eSLI
K S PRISOEDINITX WYBRO[ENNU@ TO^KU, TO POLU^IM OKRUVNOSTX S , KO-
TORAQ QWLQETSQ KOMPAKTNYM PROSTRANSTWOM. tAKIM OBRAZOM, KAVDOE IZ
TREH PROSTRANSTW MOVNO \POGRUZITX" W KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO, OTLI-
^A@]EESQ OT ISHODNOGO ODNOJ TO^KOJ.
    7. lOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO R2 POGRUVAETSQ W KOMPAKTNOE
PROSTRANSTWO | EDINI^NU@ SFERU S ( R3) S POMO]X@ STEREOGRAFI^ES-
KOJ PROEKCII. R2 GOMEOMORFNO PRI \TOM S | SFERE S WYBRO[ENNOJ TO^-
KOJ. iTAK, UKAZANNAQ KOMPAKTIFIKACIQ TAKVE OSU]ESTWLQETSQ PRISOEDI-
NENIEM K R2 ODNOJ TO^KI.
    8. t E O R E M A [p.s.aLEKSANDROW]. dLQ KAVDOGO LOKALXNO KOMPAKTNO-
GO PROSTRANSTWA E SU]ESTWUET KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO E 0 TAKOE,
^TO E GOMEOMORFNO NEKOTOROMU PODPROSTRANSTWU PROSTRANSTWA E 0,
DOPOLNENIE KOTOROGO (W E 0) SWODITSQ K ODNOJ TO^KE.
  pUSTX (E; T ) | LOKALXNO KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO. pOLOVIM E 0 =
E [f!g, GDE f!g | ODNOTO^E^NOE MNOVESTWO. oPREDELIM TOPOLOGI@ T 0 W
E 0 : U 2 T 0, ESLI U 2 T , LIBO U ESTX MNOVESTWO WIDA f!g[ (E nK ), GDE K
| NEKOTORYJ KOMPAKT W TOPOLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE E (PROWERXTE, ^TO
T 0 NA SAMOM DELE ESTX TOPOLOGIQ). qSNO TAKVE, ^TO (E; T ) GOMEOMORF-
NO (E; TE0 ), GDE TE0 | TOPOLOGIQ, INDUCIROWANNAQ W E (KAK ^ASTI E 0 )
TOPOLOGIEJ T 0. nAKONEC, (E 0; T 0) | KOMPAKTNOE PROSTRANSTWO. dEJSTWI-
TELXNO, PUSTX (U ) 2A | OTKRYTOE POKRYTIE E 0. tOGDA NAJDETSQ 0 2 A
TAKOE, ^TO ! 2 U 0 = f!g [ (E nK0), GDE K0 | NEKOTORYJ     KOMPAKT W TO-
POLOGI^ESKOM PROSTRANSTWE (E; T ). pRI \TOM K  S (U nf!g). nO
                                                0
                                                     2A; 6= 0
U nf!g 2 T ( 2 A), A POTOMU SU]ESTWUET KONE^NAQ ^ASTX   Anf 0g
                                   172