Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 183 стр.

     4.   eSLI X \ Y  = ;, TO m(X [ Y ) = m(X ) + m(Y ).
   uTWERVDENIE SPRAWEDLIWO W SILU WYKLADKI
         m(X ) + m(Y ) = m(X ) + m(Y ) = m(X  + Y )  m(X [ Y )
                          m(X ) + m(Y );
 GDE 1-E RAWENSTWO SLEDUET IZ WKL@^ENIQ X   X  X  [ X G: >
       p R I M E R Y. 5. pUSTX f (x)  0 (a  x  b) INTEGRIRUEMA NA
             Z b X  f(x; y) 2 R j a  x  b; 0  y  f (x)g J -IZMERIMO I
[a; b]. tOGDA                   2
m(X ) = f (x) dx.
              a
   pUSTX " > 0 PROIZWOLXNO. tOGDA SU]ESTWUET RAZLOVENIE 
(a = x0 <
xZ 1 < : : : < xn = b), ^TO I , "=2 < S(
)  S (
) < I + "=2, GDE I =
        (x) dx, S(
) = P mi(xi ,xi,1); S (
) = P Mi(xi ,xi,1) (SM. x55,56).
    b                    n                        n
      f
  a                     i=1                      i=1
 pOLOVIM
             i = f(x; y)j xi,1  x  xi; 0  y  mig; E = S i;
                                                              n
                                                             i=1
             i = f(x; y)j xi,1  x  xi; 0  y  Mig; F = S 0i:
               0                                              n
                                                             i=1

 tOGDA E; F 2 E; E  X  F; m(E ) = iP          m(i) = P mi(xi , xi,1) =
                                              n           n
                                             =1          i=1
                     Pn
 S (
); m(F ) = m( ) = S (
). sLEDOWATELXNO, m(F ) , m(E ) < ".
                             0
                        i      
                 i=1
oSTALOSX PRIMENITX KRITERIJ x115. >
   6. pUSTX K  Rn,1 KOMPAKTNO, I f : K ! R | NEPRERYWNAQ FUNKCIQ.
tOGDA POWERHNOSTX S W Rn , OPISYWAEMAQ URAWNENIEM
                xn = f (x1; : : : ; xn,1); (x1; : : :; xn,1) 2 K;
IMEET n-MERNU@ VORDANOWU MERU NULX.
  fUNKCIQ f RAWNOMERNO NEPRERYWNA NA K . sLEDOWATELXNO,
() 8" > 0 9 > 0 8x; x0 2 K (kx , x0k <  ) jf (x) , f (x0)j < "):
pUSTX h > 0 TAKOWO, ^TO DIAMETR KUBA W Rn,1 SO STORONOJ h MENX[E .
rASSE^EM Rn SETKOJ
       x1 = jh; :::; xn,1 = jh; xn = j" (j = 0; 1; 2 : : :):
                                    183