Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 231 стр.

   5.   p R I M 1E R [ -FUNKCIQ rIMANA]. rASSMOTRIM FUNKCI@, ZADANNU@
RQDOM  (x)  nP=1 n1x (x > 1). w UKAZANNOJ OBLASTI FUNKCIQ  NEPRERYWNA
(!!). pOKAVEM, ^TO
                                       X1
(2)                          0(x) = , lnnxn (x > 1):
                                       n=1

dLQ \TOGO WYBEREM a TAK, ^TOBY 1 < a < x. tOGDA IZ OCENKI nP=1 lnnxn <
                                                                 1

 P
 1 ln n        P
               1 1
       a  < C       a," (GDE " > 0 TAKOWO, ^TO 1 < a , ") SLEDUET, ^TO RQD
n=1 n         n=1 n
 P
 1 ln n
       x SHODITSQ RAWNOMERNO W OBLASTI [a; +1). w SILU P. 4 \TO OZNA^AET
n=1 n
SPRAWEDLIWOSTX (2).
     x143. sTEPENNYE RQDY W KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI
     mY RASSMOTRIM NEKOTORYE \LEMENTARNYE FAKTY IZ TEORII STEPENNYH
RQDOW (W OSNOWNOM SWQZANNYE S OB]EJ TEORIEJ RQDOW FUNKCIJ, IZLOVENNOJ
WY[E) W KOMPLEKSNOJ PLOSKOSTI. pODROBNO TAKIE RQDY IZU^A@TSQ W KURSE
TEORII FUNKCIJ KOMPLEKSNOGO PEREMENNOGO.
     1. pUSTX a0; a1; : : : | POSLEDOWATELXNOSTX KOMPLEKSNYH ^ISEL. sTE-
PENNYM RQDOM PO STEPENQM z NAZYWAETSQ FORMALXNAQ SUMMA
                                   X
                                   1
()                                   ak zk ; z 2 C :
                              k=0
pERWYJ ESTESTWENNYJ WOPROS | WOPROS OB OBLASTI SHODIMOSTI \TOGO RQ-
DA.
    2. [1-AQ TEOREMA aBELQ]. eSLI RQD () SHODITSQ W TO^KE z0 2 C , TO ON
SHODITSQ ABSOL@TNO I RAWNOMERNO W KRUGE jzj  q PRI L@BOM q (0 < q <
jz0j).
  tAK KAK RQD kP=0 ak z0k SHODITSQ, TO ak z0k ! 0 (k ! +1). sLEDOWATELXNO,
                 1

NAJDETSQ M > 0 TAKOE      , ^TO jakz0k j  M (k = 0; 1; 2; : : :). w SILU USLO-
WIJ TEOREMY = jzq0j < 1: sLEDOWATELXNO W KRUGE jzj  q : jak zk j =

                                      231