Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 232 стр.

jak z0k jj zz0 jk  M k (k = 0; 1; 2; : : :). oSTALOSX K RQDU kP=0 ak zk (jzj  q)
                                                                1

PRIMENITX PRIZNAK 140.4. >
     3. dOKAZANNAQ TEOREMA POZWOLQET SRAZU O^ENX MNOGO SKAZATX OB OBLAS-
TI  = fz 2 C j RQD () SHODITSQg SHODIMOSTI RQDA (). nAZOWEM RADIUSOM
SHODIMOSTI RQDA () WELI^INU
                              (
                                sup jzj; ESLI  OGRANI^ENO,
                         R = z 2
                                +1; ESLI  NE OGRANI^ENO,
iZ P. 2 NEPOSREDSTWENNO SLEDUET:
     4. (A) eSLI jz j < R, TO z 2  , TO ESTX () SHODITSQ.
          (B) eSLI jzj > R, TO RQD () RASHODITSQ.
     tAKIM OBRAZOM, OBLASTX SHODIMOSTI STEPENNOGO RQDA () QWLQETSQ KRU-
GOM (WOZMOVNO, NESOBSTWENNYM). oTMETIM, ^TO TEOREMA P. 2 NE DAET IN-
FORMACII O POWEDENII RQDA NA GRANICE KRUGA SHODIMOSTI jzj = R.
     x144. fORMULA kO[I-aDAMARA
     dLQ OPREDELENIQ RADIUSA SHODIMOSTI IMEETSQ FORMULA, POZWOLQ@]AQ
INOGDA \FFEKTIWNO WY^ISLQTX \TOT RADIUS ^EREZ KO\FFICIENTY RQDA.
     1. R = [limjak j1=k ],1 (PRI \TOM 1= + 1  0; 1=0  +1).
                    k
  nARQDU S WELI^INOJ R (x143), POLOVIM r = [lim           k k
                                                              ja j1=k],1. tREBUETSQ
UBEDITXSQ, ^TO r = R.
     sLU^AJ (A): R > 0. pUSTX 0 < R1 < R. tOGDA SOGLASNO 143.2 RQD
 P
 1
     j akRk1 j SHODITSQ, I ZNA^IT, SU]ESTWUET M > 0 TAKOE, ^TO jak Rk1 j 
k=0
M (k = 0; 1; 2; : : :). sLEDOWATELXNO, lim     ja j1=k  R11 
 lim
                                              k k                k
                                                                   M 1=k = R11 . oT-
S@DA r  R1, I SLEDOWATELXNO r  R.
     sLU^AJ (B): R < +1. w SILU 143.2 W TO^KE               z = R1 > R RQD ()
                                                       P
                                                       1
x143 RASHODITSQ. tEM BOLEE RASHODITSQ RQD k=0 jak jRk1 . w SILU PRIZNAKA
kO[I 14.3 lim      k k
                      ja j1=k = R1=r  1. oTS@DA R=r  1, I SLEDOWATELXNO
R  r. tAKIM OBRAZOM, RAWENSTWO R = r USTANOWLENO DLQ SLU^AQ, KOGDA
0 < R < +1. oNO, ODNAKO, SPRAWEDLIWO I DLQ ZNA^ENIJ R = 0; +1. eSLI

                                        232