Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 234 стр.

tOGDA DLQ t 2 B (0) : 1t [f (z + t) , f (z)] = P gk (t), PRI^EM SUMMA RQDA W
                                                      1
                                                    k=1
PRAWOJ ^ASTI W SILU OCENKI (3) I SWOJSTWA 140.2 QWLQETSQ NEPRERYWNOJ
FUNKCIEJ. sLEDOWATELXNO,
 f 0(z) = lim 1 [f (z + t) , f (z)] = lim X1
                                              g   ( t) =
                                                         X
                                                         1
                                                           g   (0) =
                                                                     X
                                                                     1
                                                                       kak zk,1: >
          t!0 t                       t!0       k            k
                                          k=1       k=1          k=1
   3.  fUNKCIQ f (z), ZADANNAQ RAWENSTWOM (2), IMEET W KRUGE jzj < R
PROIZWODNYE WSEH PORQDKOW. pRI \TOM SPRAWEDLIWA FORMULA tEJLORA
         1 (k)
f (z) = P f k!(0) zk (jzj < R).
        k=0
  uTWERVDENIE QWLQETSQ NEPOSREDSTWENNYM SLEDSTWIEM P. 2. >
    x146. o PONQTII ANALITI^ESKOJ FUNKCII
    1. wMESTO RQDOW PO STEPENQM z MOVNO, RAZUMEETSQ, RASSMATRIWATX
STEPENNYE RQDY PO STEPENQM z , z0, GDE z0 | FIKSIROWANNOE ^ISLO. nA
TAKIE RQDY PERENOSQTSQ WSE DOKAZANNYE WY[E REZULXTATY.
    pUSTX G  C OTKRYTO. fUNKCIQ f : G ! C NAZYWAETSQ ANALITI^ESKOJ
W1 G, ESLI DLQ L@BOJ TO^KI z0 2 G SU]ESTWUET  > 0 TAKOE, ^TO f (z) =
P a (z , z )k DLQ WSEH z 2 B (z ). iZ 145.3 SLEDUET, ^TO ANALITI^ESKAQ
    k      0                   0
k=
FUNKCIQ OBLADAET PROIZWODNYMI WSEH PORQDKOW.
    2. p R I M E R [\KSPONENTA]. pOLOVIM PO OPREDELENI@
                                  X
                                  1
                        exp(z)  k1! zk ; z 2 C :
                                    k=0
w SOOTWETSTWII S 144.2 \TA FUNKCIQ KORREKTNO ZADANA W C . sPRAWEDLIWO
WAVNOE TOVDESTWO
()               exp(z + t) = exp(z) 
 exp(t); z; t 2 C :
 eGO SPRAWEDLIWOSTX SLEDUET IZ WYKLADKI
                             P1 1 k  P  1 1 m         P
                                                          1 z k tm
        exp(z) 
 exp(t) =             z          t   =
                              k=0 k !     m=0 m!  k;m=0 k !m!
                              1 1 P
                              P             r! zk tm
                        =
                             r=0 k+m=r  m! 
                                 r !      k !
                         = P r1! P kr zk tr,k = P r1! (z + t)r
                              1         r             1
                             r=0      k=0            r=0
                         = exp(z + t)
                                       234