Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 304 стр.

(u; v) ZADANA ORIENTIROWANNAQ OBLASTX         OGRANI^ENNAQ KONTUROM , I
                                               ,
ZADANO BIEKTIWNOE NEPRERYWNO DIFFERENCIRUEMOE PREOBRAZOWANIE x =
x(u; v); y = y(u; v) OBLASTI NA OBLASTX 0 PEREMENNYH (x; y), OGRANI-
^ENNU@ KONTUROM 0, PRI^EM
                                     @x @x
                          J (u; v) = @u   @v 6 0:
                                     @y @y =
                                     @u @v
pRI \TOM PREOBRAZOWANII OBHOD KONTURA INDUCIRUET OBHOD 0 I TEM SA-
MYM 0 TAKVE ORIENTIROWANA (PI[EM 0). eSLI PRI OBHODE OBLASTX
OSTAETSQ, NAPRIMER, SLEWA I J (u; v) > 0 (SOOTWETSTWENNO J (u; v) < 0), TO
PRI OBHODE KONTURA 0 TO^KI OBLASTI 0 OSTA@TSQ SLEWA (SOOTWETSTWEN-
NO SPRAWA). eSLI f (x; y) | NEPRERYWNAQ NA OBLASTI 0 FUNKCIQ, TO IZ
SKAZANNOGO IMEEM
            ZZ                   ZZ
               f (x; y) dxdy = f (x(u; v); y(u; v))J (u;v) dudv
             0                 

(W \TOJ FORMULE QKOBIAN BERETSQ UVE BEZ ZNAKA MODULQ).
    2. [fORMULA sTOKSA]. pUSTX   | ORIENTIROWANNAQ GLADKAQ POWERH-
NOSTX S NEPRERYWNYM KUSO^NO-GLADKIM KRAEM TAKAQ, ^TO  = S k
                                                                   n
                                                                  k=1
(k \ j 
         = ;; (k 6= j )), GDE k | GLADKIE KUSKI, BIEKTIWNO PROEKTIRU@-
]IESQ NA WSE TRI KOORDINATNYE PLOSKOSTI. tOGDA
                       Z             Z
                         hrot a; ni = ha; i;
                          
GDE ORIENTACIQ KRIWOJ SOGLASOWANA S ORIENTACIEJ POWERHNOSTI.
  uTWERVDENIE DOSTATO^NO DOKAZATX DLQ ODNOGO GLADKOGO KUSKA. dALEE,
TAK KAK rot a | ADDITIWNAQ FUNKCIQ WEKTORNOGO ARGUMENTA, DOSTATO^NO
RASSMOTRETX SLU^AJ POLQ a(x; y; z) = (x; y; z)i (TO ESTX = = 0). pUSTX
 OPISYWAETSQ URAWNENIQMI
           z = h(x; y) (x; y) 2 z ;         y = g(z; x) (z; x) 2 y


                                       304