Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 303 стр.

 Pn Z ha; ni DWAVDY KAK KUSKI, OGRANI^IWA@]IE SMEVNYE OBLASTI (ONI
k=1 k
SNABVENY PROTIWOPOLOVNYMI ORIENTACIQMI), TAK ^TO SOOTWETSTWU@]IE
POWERHNOSTNYE INTEGRALY WZAIMNO UNI^TOVA@TSQ I OSTA@TSQ LI[X IN-
TEGRALY PO KUSKAM TIPA (1).
    4. s L E D S T W I E. dLQ OBLASTI G W USLOWIQH P. 3

                            1 Z
                    m(G) = 3 x dydz + y dzdx + z dxdy:
                            
 k WEKTORNOMU POL@ a(x; y; z) = xi + yj + zk PRIMENIM FORMULU P. 2. >
   tAKIM OBRAZOM, POLU^ENA FORMULA WY^ISLENIQ OB_EMA OBLASTI ^EREZ
POWERHNOSTNYJ INTEGRAL.
   5. z A M E ^ A N I E. iZ FORMULY gAUSSA-oSTROGRADSKOGO USMATRIWAETSQ
FIZI^ESKIJ SMYSL DIWERGENCII. pUSTX W G IMEET MESTO STACIONARNOE
TE^ENIE VIDKOSTI, SKOROSTX KOTOROJ W KAVDOJ TO^KE (x; y; z) 2 G RAWNA
a(x; y; z). pUSTX " | POWERHNOSTX [ARA B"(x0; y0; z0), ORIENTIROWANNAQ
WNE[NEJ NORMALX@. iMEEM
                      ZZZ                    Z
                            (div a) dxdydz = ha; ni:
                       B"                    "
pRAWAQ ^ASTX | KOLI^ESTWO VIDKOSTI, WYTEKA@]EE WNE         R   B" ZA EDINICU
                                                        1
WREMENI. pO TEOREME O SREDNEM (div a)(x1; y1; z1) = V" 
  ha; ni, GDE V" |
                                                            "
OB_EM [ARA, A (x1; y1; z1) 2 B" (x0; y0; z0). uSTREMLQQ " K 0, IMEEM
                                               1  Z
                   (div a)(x0; y0; z0) = "lim
                                           !0 V"
                                                 
 ha; ni:
                                                  "
tAKIM OBRAZOM, (div a)(x0; y0; z0) | PROIZWODITELXNOSTX ISTO^NIKA W TO^-
KE (x0; y0; z0). w ^ASTNOSTI, ESLI (div a)(x0; y0; z0) < 0, TO W TO^KE IMEET
MESTO STOK.
   x190. fORMULA sTOKSA
   1. pRIWED    EM SNA^ALA FORMULU ZAMENY PEREMENNYH DLQ INTEGRALOW
PO ORIENTIROWANNYM PLOSKIM OBLASTQM. pUSTX NA PLOSKOSTI R2 TO^EK
                                    303