Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 324 стр.

pUSTX S | POLUKOLXCO (S 1) W R WSEH PROMEVUTKOW WIDA [a; b)(,1  a <
b  +1). oPREDELIM DLQ KAVDOJ FUNKCII F 2 F MERU mF : S ! R+
()                      mF [a; b)  F (b) , F (a)
(SM. NIVE UPR. 6). sOGLASNO x196 \TA MERA DOPUSKAET PRODOLVENIE DO
MERY lEBEGA F : LF ! R+ , GDE LF = L(S; mF ). nAZOWEM F MEROJ
lEBEGA-sTILTXESA NA ^ISLOWOJ PRQMOJ . pO POSTROENI@ DLQ KAVDOJ
F 2 F WERNO WKL@^ENIE B(R)  LF .
    mERY lEBEGA-sTILTXESA INTERESNY TEM, ^TO IMI IS^ERPYWA@TSQ WSE
MERY NA ALGEBRE B(R).
    2. eSLI m : B(R) ! R+ | MERA, TO SU]ESTWUET I OPREDELENA OD-
NOZNA^NO, S TO^NOSTX@ DO POSTOQNNOGO SLAGAEMOGO, FUNKCIQ F 2 F
TAKAQ, ^TO m = F j B(R).
  dLQ MERY m : B(R) ! R+ OPREDELIM FUNKCI@ F RAWENSTWOM F (t) 
m(,1; t); t 2 R. qSNO, ^TO F NE UBYWAET, F (+1) , F (,1) = mR < +1.
                        S
                        1
kROME TOGO, (,1; t) = n=1(,1; t , n1 ), I W SILU NEPRERYWNOSTI m (SM.
197.13):
      F (t) = m(,1; t) = lim m ( ,1 ; t , 1 ) = lim F (t , 1 ) = F (t,):
                           n              n       n        n
iTAK, F 2 F . pUSTX TEPERX G 2 F | E]E ODNA FUNKCIQ, OBLADA@]AQ
SWOJSTWOM m = G j B(R). eSLI DOPUSTITX, ^TO G(t) 6= F (t) + const,
TO NAJDUTSQ x; y 2 R (x > y) TAKIE, ^TO G(x) , G(y) 6= F (x) , F (y).
sLEDOWATELXNO (SM. ()), F [y; x) =
                                   6 G [y; x), ^TO PROTIWORE^IT RAWENSTWU
F j B(R) = G j B(R): >
    3. aNALOGI^NO MOVNO OPREDELITX MERY lEBEGA-sTILTXESA NA OTREZ-
KE [a; b]( R). |TI MERY MOVNO PERE^ISLITX S POMO]X@ NEUBYWA@]IH,
NEPRERYWNYH SLEWA FUNKCIJ (t) (a  t  b). w ^ASTNOSTI, PRI (t) 
t (a  t  b) POLU^AETSQ LINEJNAQ MERA lEBEGA NA OTREZKE [a; b].
    u P R A V N E N I Q. 4. pUSTX F = (0;+1) . uBEDITESX, ^TO (A) F f0g = 1,
(B) LF SOWPADAET S SEMEJSTWOM WSEH PODMNOVESTW MNOVESTWA R, (W) DLQ
X  R:                             1; ESLI 0 2 X ,
                           F X = 0; ESLI 0 62 X .

                                     324