Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 334 стр.

    u P R A V N E N I Q. 6. eSLI f : R ! R NEPRERYWNA, TO ONA w-IZMERIMA.
    7. eSLI f : R ! R IMEET KONE^NOE ILI S^     ETNOE ^ISLO TO^EK RAZRYWA,
TO ONA w-IZMERIMA.
    8. eSLI fn 2 M (E; A) | POSLEDOWATELXNOSTX IZMERIMYH FUNKCIJ, TO
X = fx 2 E j (fn (x)) SHODITSQ g 2 A).
    x204. iZMERIMYE FUNKCII NA PROSTRANSTWE S MEROJ
    1. rASSMOTRIM TROJKU (E; A; ), GDE E | MNOVESTWO, A |  -ALGEBRA
W E;  | POLNAQ -KONE^NAQ MERA NA A (SM.197.12). fUNKCII f; g : E ! R
NAZOWEM \KWIWALENTNYMI (PI[EM f  g), ESLI fx j f (x) =          6 g(x)g = 0.
tAKIM OBRAZOM, f  g, ESLI f (x) = g(x) P.W. (W SOOTWETSTWII S TERMINO-
LOGIEJ 47.1).
    2. eSLI g 2 M (E; A) I f  g , TO f 2 M (E; A).
  dEJSTWITELXNO,
  fxj f (x) < cg = fxjf (x) = g(x); g(x) < cg + fxjf (x) =6 g(x); f (x) < cg
                  = fx j g(x) < cg \ fx j f (x) =
                                                6 g(x)gc
                  + fx j f (x) =
                               6 g(x); f (x) < cg:
iZ POLNOTY MERY fx j f (x) =  6 g(x); f (x) < cg 2 A; fx j f (x) =6 g(x)gc 2 A.
pO\TOMU fx j f (x) < cg 2 A: >
    3. eSLI FUNKCII f; g : R ! R NEPRERYWNY I \KWIWALENTNY OTNOSI-
TELXNO LINEJNOJ MERY lEBEGA, TO f = g.
  pUSTX, NAPROTIW, f (x0) =6 g(x0); IZ NEPRERYWNOSTI f I g W TO^KE x0
SLEDUET, ^TO SU]ESTWU@T a; b (a < x0 < b) TAKIE, ^TO (f , g)(x) =      6 0 DLQ
WSEH x 2 (a; b). pRI \TOM fx j f (x) =6 g(x)g  (a; b) = b , a > 0, TO ESTX
f I g NE \KWIWALENTNY. >
   4. z A M E ^ A N I E. w KLASSE M (E; A) IZMERIMYH FUNKCIJ OTNO[E-
NIE  QWLQETSQ OTNO[ENIEM \KWIWALENTNOSTI. kLASS M (E; A) FORMALXNO
NE ZAWISIT OT MERY  : A ! R+ [ f+1g. w TOM SLU^AE, KOGDA FUNKCII
NAS INTERESU@T S TO^NOSTX@ DO IH ZNA^ENIJ NA MNOVESTWE MERY NULX,
CELESOOBRAZNO FAKTORIZOWATX MNOVESTWO M (E; A) PO OTNO[ENI@ \KWIWA-
LENTNOSTI  (SM. PRIL. I, P. 5). pOLU^ENNOE MNOVESTWO KLASSOW POPARNO
\KWIWALENTNYH IZMERIMYH FUNKCIJ OBOZNA^IM ^EREZ M (E; A; ).

                                     334