Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 333 стр.

  x203. |LEMENTARNYE SWOJSTWA IZMERIMYH FUNKCIJ
  1. pUSTX f; g 2 M (E; A). tOGDA f  g; f 
 g 2 M (E; A). eSLI, KROME
TOGO, f NE OBRA]AETSQ W NULX, TO 1=f 2 M (E; A).
 pUSTX f; g | PROSTYE FUNKCII:
              X            X          X      X
          f = 0n Xn ; g = 00k Yk ( Xn = Yk = E ):
               n           k          n      k
             P
tOGDA f +g = (0 +00) I, SLEDOWATELXNO, f +g | PROSTAQ FUNKCIQ.
                    n    k Xn Y k
              n;k
fw SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM PROSTOJ FUNKCII SLEDUET RASSMOTRETX
POSLEDOWATELXNOSTX 1; 2; : : : POPARNO RAZLI^NYH ZNA^ENIJ WSEH SUMM WI-
DA 0n + 00k (n; k = 1; 2; : : :), TAK ^TO
                               X                       X
                f +g =                sZs ; GDE Zs =   Xn Yk :
                        0n +00k =s          0n +00k =s
w DALXNEJ[EM BUDEM OPUSKATX STOLX DETALXNYE ARGUMENTY PRI ARIFME-
TI^ESKIH OPERACIQH NAD PROSTYMI FUNKCIQMI.g eSLI f; g | IZMERIMYE,
NO NE PROSTYE, TO IZMERIMOSTX f + g SLEDUET IZ 202.7.
    eSLI f 2 M (E; A), TO f 2 2 M (E; A) W SILU RAWENSTWA
        fx j f 2(x) < cg = fx j f (x) < pcg fx j f (x) > ,pcg (c  0):
                                           \

iZ PREDSTAWLENIQ f 
 g = 14 ((f + g)2 , (f , g)2) SLEDUET IZMERIMOSTX
PROIZWEDENIQ IZMERIMYH FUNKCIJ. >
    2. eSLI f 2 M (E; A) I X 2 A, TO f 
 X 2 M (E; A).
  |TO NEPOSREDSTWENNOE SLEDSTWIE P. 1. >
    3. fUNKCIQ f : R ! R NAZYWAETSQ IZMERIMOJ PO bOREL@ (ILI
w-IZMERIMOJ), ESLI f ,1 (B(R))  B(R).
    4. pUSTX f 2 M (E; A) I ' w-IZMERIMA. tOGDA SUPERPOZICIQ '  f 2
M (E; A).
  dEJSTWITELXNO, ',1(Y ) 2 B(R) DLQ L@BOGO Y 2 B(R). sLEDOWATELXNO,
('  f ),1(Y ) = f ,1 (',1(Y )) 2 A: >
    5. z A M E ^ A N I E. oPREDELENIE P. 3 MOVNO OBOB]ITX NA SLU^AJ
FUNKCIJ WIDA f : X ! R, GDE X ( R) | NEKOTOROE BORELEWSKOE MNOVEST-
WO. tAKAQ FUNKCIQ
              T        NAZYWAETSQ w-IZMERIMOJ, ESLI f ,1 (B(R))  B(X ), GDE
B(X ) = fB X j B 2 B(R)g.

                                        333