Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 331 стр.

   4.  u P R A V N E N I E. uTWERVDENIQ PP. 2, 3 OSTA@TSQ SPRAWEDLIWYMI
DLQ -KOLXCA, ALGEBRY, -ALGEBRY.
    x202. oPREDELENIE IZMERIMOJ FUNKCII
    bUDEM PREDPOLAGATX, ^TO E | ABSTRAKTNOE MNOVESTWO S ZADANNOJ NA
NEM -ALGEBROJ A.
    1. fUNKCIQ f : E ! R NAZYWAETSQ IZMERIMOJ, ESLI f ,1 (Y ) 2 A DLQ
L@BOGO BORELEWSKOGO MNOVESTWA Y ( R). dRUGIMI SLOWAMI, f IZMERIMA,
ESLI f ,1(B)  A, GDE B | BORELEWSKAQ ALGEBRA W R.
    oBOZNA^IM ^EREZ M = M (E; A) MNOVESTWO WSEH IZMERIMYH FUNKCIJ
f : E ! R.
    2. p R I M E R. fUNKCIQ WIDA X (X 2 A) IZMERIMA.
    3. f 2 M (E; A) TTOGDA fx j f (x) < cg 2 A (c 2 R).
  eSLI f 2 M , TO fx j f (x) < cg = f ,1((,1; c)) 2 A , TAK KAK (,1; c) 2
B(R) (c 2 R). oBRATNO, PUSTX
                     f ,1(E)  A; GDE E = f(,1; c)gc2R:
tAK KAK B(R) | -ALGEBRA, POROVDENNAQ SEMEJSTWOM E (SM. 193.11), TO S
U^ETOM 201.4 IMEEM
               f ,1(B) = f ,1(A (E)) = A (f ,1 (E))  A (A) = A
(ZDESX ^EREZ A (E) OBOZNA^AETSQ -ALGEBRA, POROVDENNAQ SEMEJSTWOM E),
TO ESTX f 2 M: >
    4. nAPOMNIM TERMINOLOGI@ x138: POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ
fn : E ! R SHODITSQ K f : E ! R (OBOZNA^ENIE fn ! f ), ESLI lim    n fn (x) =
f (x) (x 2 E ); fn RAWNOMERNO SHODITSQ K f (fn =) f ), ESLI
               8" > 0 9N 8n > N 8x 2 E (jfn(x) , f (x)j < "):
    5. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fn IZMERIMYH FUNKCIJ SHODITSQ K FUNK-
CII f , TO f TAKVE IZMERIMA.


                                    331