Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 335 стр.

    x205. sHODIMOSTX PO^TI WS@DU
    1. pOSLEDOWATELXNOSTX fn : E ! R NA PROSTRANSTWE S  -KONE^NOJ
MEROJ (E; A; ) NAZYWAETSQ SHODQ]EJSQ PO^TI WS@DU K FUNKCII f , ESLI
                                  P.W. f ).
lim fn (x) = f (x) P.W. (PI[EM fn ,!
 n
     2.  p R I M E R. pOSLEDOWATELXNOSTX fn(x) = (,1)nxn[0;1] (x)(x 2 R)
SHODITSQ K 0 P.W. NA ^ISLOWOJ PRQMOJ S LINEJNOJ MEROJ lEBEGA. oDNAKO,
OTNOSITELXNO MERY lEBEGA-sTILTXESA F , OPREDELQEMOJ FUNKCIEJ F =
(1;+1) , TA VE POSLEDOWATELXNOSTX FUNKCIJ P.W. RASHODITSQ.
     3. eSLI POSLEDOWATELXNOSTX fn IZMERIMYH FUNKCIJ SHODITSQ P.W. K
FUNKCII f , TO f TAKVE IZMERIMA.
  pUSTX FUNKCII ZADANY NA PROSTRANSTWE S MEROJ (E; A; ) I
                         X = fx j lim
                                    n fn (x) = f (x)g;
TAK ^TO fn X ! fX . pO USLOWI@ X c = 0. pO\TOMU X 2 A. sOGLASNO
202.5 f 
 X 2 M (E; A). pOSKOLXKU fx 2 E j f (x) 6= f (x)X (x)g  X c,
IMEEM f  f 
 X I OSTAETSQ U^ESTX 204.2. >
   sLEDU@]AQ TEOREMA USTANAWLIWAET SWQZX MEVDU SHODIMOSTX@ P.W. I
RAWNOMERNOJ SHODIMOSTX@: OKAZYWAETSQ, ^TO NA PROSTRANSTWE S KONE^NOJ
MEROJ DLQ WSQKOJ SHODQ]EJSQ POSLEDOWATELXNOSTI IZMERIMYH FUNKCIJ
MOVNO UDALITX IZ PROSTRANSTWA MNOVESTWO SKOLX UGODNO MALOJ MERY
TAK, ^TO NA OSTAW[EMSQ MNOVESTWE \TA POSLEDOWATELXNOSTX SHODITSQ UVE
RAWNOMERNO.
   4. t E O R E M A [d. f. eGOROW]. pUSTX E < +1; fn 2 M (E; A)
     P.W. f . tOGDA DLQ WSQKOGO  > 0 SU]ESTWUET X 2 A TAKOE, ^TO
I fn ,!
X <  I fn 
 Xc =) f 
 Xc .
  iZ P. 3 SLEDUET, ^TO f 2 M (E; A). pOLOVIM
                     \                                [
              Xnm = fx : jfi(x) , f (x)j < m1 g; X m = Xnm :
                    in                               n

 pOSLEDOWATELXNOSTX X1m; X2m ; : : : MONOTONNO WOZRASTAET. pO\TOMU W SILU
197.13 DLQ WSQKOGO m NAJDETSQ n0 = n0(m) TAKOE, ^TO (X m nXnm0 (m)) <

                                  335