Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 416 стр.

SLEDUET, ^TO P 2 B(L2(R)). kROME TOGO, QSNO, ^TO P 2 = P . nAKONEC,
P = P , TAK KAK DLQ L@BYH f; g 2 L2(R):
                Z                    Z
      hPf; gi = X (x)f (x)g(x) dx = f (x)X (x)g(x) dx = hf; Pgi:
   4.  oRTOPROEKTORY P1 I P2 NAZYWA@TSQ ORTOGONALXNYMI, ESLI P1P2 =
0 (W \TOM SLU^AE I P2 P1 = (P1P2 ) = 0).
    u P R A V N E N I Q. 5. oRTOPROEKTORY P1; P2 (NA PODPROSTRANSTWA K1
I K2 SOOTWETSTWENNO) ORTOGONALXNY TTOGDA ORTOGONALXNY K1 I K2.
    6. pUSTX P1 I P2 | ORTOPROEKTORY. oPERATOR P  P1 + P2 | ORTO-
PROEKTOR TTOGDA P1 P2 = 0.
    7. pROIZWEDENIE P = P1 P2 ORTOPROEKTOROW P1 ; P2 (NA PODPROSTRANSTWA
K1 I K2 SOOTWETSTWENNO) ESTX ORTOPROEKTOR TTOGDA P1P2 = P2P1 . pRI
\TOM R(P ) = K1 \ K2 .
    x242. uNITARNYE OPERATORY
    1. lINEJNAQ S@R_EKCIQ U : H ! H NAZYWAETSQ UNITARNYM OPERATO-
ROM, ESLI hUf; Ugi = hf; gi (f; g 2 H ). o^EWIDNO, U 2 B(H ); kU k = 1.
    sLEDU@]EE SWOJSTWO HARAKTERIZUET UNITARNYE OPERATORY W KLASSE
WSEH LINEJNYH OGRANI^ENNYH OPERATOROW.
    2. pUSTX U 2 B (H ). sLEDU@]IE USLOWIQ \KWIWALENTNY:
    (A) U | UNITARNYJ OPERATOR,
    (B) U U = UU  = I .
  (A) ) (B). iZ RAWENSTWA hf; gi = hUf; Ugi = hU  Uf; gi (f; g 2 H )
SLEDUET, ^TO U U = I . tAK KAK U | S@R_EKCIQ, DLQ PROIZWOLXNOGO f 2 H
NAJDETSQ h 2 H TAKOJ, ^TO f = Uh. rAWENSTWO UU  = I SLEDUET IZ
WYKLADKI (S U^ETOM DOKAZANNOGO UVE RAWENSTWA U U = I ):
   hUU  f; gi = hUU  Uh; gi = hU (U  U )h; gi = hUh; gi = hf; gi (f; g 2 H ):
(B) ) (A). U U = I ) hUf; Ugi = hU Uf; gi = hf; gi (f; g 2 H ). s@R_EK-
TIWNOSTX U : f 2 H ) f = UU f = U (U f ) 2 R(U ): >
    3. p R I M E R. [oPERATOR fURXE-pLAN[ERELQ W L2 (R).] rASSMOTRIM
PROSTRANSTWO {WARCA S (SM. 170.4). |TO PLOTNYJ W L2(R) LINEAL (!!).
                                      416