Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 422 стр.

dEJSTWITELXNO,
         jhgn ; f ij2 = jhgn ; kP=1hf; ek iek ij2 = jhgn ; k=Pn+1hf; ek iek ij2
                                 1                           1

                      = j P hf; ek ihgn ; ekij2
                            1
                         k=n+1
                       [k=Pn+1 jhf; ek ij2][k=Pn+1 jhgn ; ek ij2]
                           1                    1

                       k=Pn+1 jhf; ek ij2 ! 0 (n ! 1):
                          1


w SILU KOMPAKTNOSTI A NAJDETSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX (gnk ) POSLEDO-
WATELXNOSTI (gn ) TAKAQ, ^TO (Agnk ) SHODITSQ: Agnk ! h. w SILU (2) h 6= .
s DRUGOJ STORONY (S U^ETOM (3),
                  khk2 = lim
                           k
                             hAgnk ; hi = lim hg ; Ahi = 0:
                                            k nk
| PROTIWORE^IE.
   5. pROWERIM UTWERVDENIE DLQ SEPARABELXNOGO PROSTRANSTWA. pUSTX
(An) | POSLEDOWATELXNOSTX KONE^NOMERNYH OPERATOROW, SHODQ]AQSQ K
A(2 C (H )) PO NORME (P. 4). w SILU 243.3{4 (An) | POSLEDOWATELXNOSTX
KONE^NOMERNYH OPERATOROW, PRI^EM kAn , Ak = kAn , Ak ! 0. sNOWA W
SILU P. 4 A 2 C (H ).
   6. sLEDUET NEPOSREDSTWENNO IZ OPREDELENIQ. nAPRIMER, IZ USLOWIJ
A 2 C (H ); B 2 B(H ) SLEDUET, ^TO DLQ KAVDOJ OGRANI^ENNOJ POSLEDO-
WATELXNOSTI (fn) W H POSLEDOWATELXNOSTX (Bfn) TAKVE OGRANI^ENA. w
SILU 244.2 POSLEDOWATELXNOSTX (ABfn) OBLADAET SHODQ]EJSQ PODPOSLEDO-
WATELXNOSTX@ (ABfnk ). sNOWA W SILU 244.2 AB 2 C (H ).
   7. pUSTX (I , A)fn ! g. mOVNO S^ITATX, ^TO fn 2 [Ker(I , A)]?. fiZ
PREDSTAWLENIQ (232.4) fn = fn0 + fn00 (fn0 2 Ker(I , A); fn00 2 [Ker(I , A)]?)
POLU^AEM (I , A)fn00 ! g. oSTAETSQ POMENQTX POSLEDOWATELXNOSTX (fn) NA
POSLEDOWATELXNOSTX (fn00).g
   pOKAVEM TEPERX, ^TO POSLEDOWATELXNOSTX (fn) OGRANI^ENA. eSLI (fn),
NAPROTIW, NE OGRANI^ENA, TO, PEREHODQ K PODPOSLEDOWATELXNOSTI, MOVNO
S^ITATX, ^TO kfn k ! +1 I TOGDA (IZ SHODIMOSTI (I , A)fn) SLEDUET,
^TO (I , A)kn ! , GDE kn  kffnnk (!!). pOSKOLXKU A | KOMPAKTNYJ
OPERATOR, MOVNO S^ITATX (PEREHODQ SNOWA K PODPOSLEDOWATELXNOSTI), ^TO
                                         422