Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 421 стр.

dEJSTWITELXNO, W SILU OGRANI^ENNOSTI POSLEDOWATELXNOSTI (fn ) I USLO-
WIQ kAn , Ak ! 0 PERWOE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^ASTI (1) MOVET BYTX SDE-
LANO MENX[E NAPERED ZADANNOGO ^ISLA PRI DOSTATO^NO BOLX[OM s. dLQ
\TOGO s POSLEDOWATELXNOSTX (Asfns ) SHODITSQ, A ZNA^IT, SHODITSQ POSLEDO-
WATELXNOSTX Asfnn , POSKOLXKU PRI n > s (fnn ) | PODPOSLEDOWATELXNOSTX
POSLEDOWATELXNOSTI (fns ). sLEDOWATELXNO, WTOROE SLAGAEMOE W PRAWOJ ^AS-
TI (1) TAKVE MOVET BYTX SDELANO MENX[E NAPERED ZADANNOGO ^ISLA PRI
BOLX[IH n. oSTAETSQ U^ESTX 244.2.
    3. pUSTX PODPOSLEDOWATELXNOSTX An 2 C (H ) FUNDAMENTALXNA. w SILU
POLNOTY B(H ) SU]ESTWUET A 2 B(H ), ^TO kAn , Ak ! 0. iZ P. 2 TEPERX
SLEDUET, ^TO A 2 C (H ).
    4. dOSTATO^NOSTX UVE USTANOWLENA (SM. P. 2 I 244.3). dOKAVEM NEOB-
HODIMOSTX    . pUSTX fe1; e2; : : :g | ORTONORMIROWANNYJ BAZIS W H I Pn 
 Pn h
; e ie | KONE^NOMERNYE        OPERATORY (ORTOPROEKTORY). tOGDA APn =
         k k
k=1
 Pn h
; e iAe | TAKVE POSLEDOWATELXNOSTX KONE^NOMERNYH OPERATOROW I
      k    k
k=1
DOSTATO^NO USTANOWITX , ^TO n  kA , APn k ! 0 (n ! 1). rASSMOTRIM
               P
               1
RQD fURXE f = hf; ek iek PROIZWOLXNOGO WEKTORA f 2 H I ZAMETIM, ^TO
               k=1

      (A , APn)f =    P
                      1
                          hf; ekiAek ;
                    k=n+1
               n = sup k(A , APn )f k =           sup            kAf k;
                       kf k=1                kf k=1;f 2(I ,Pn)H
TAK ^TO 1  2  : : :, I PO\TOMU SU]ESTWUET   lim
                                                    n n  0. pUSTX,
NAPROTIW,  > 0: tOGDA NAJDETSQ TAKAQ POSLEDOWATELXNOSTX gn 2 (I ,
Pn )H; kgnk = 1, ^TO
(2)                             kAgnk > =2:
zAMETIM, ^TO DLQ L@BOGO f 2 H
(3)                      hgn ; f i ! 0 (n ! 1):



                                   421