Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 420 стр.

 [dOKAZATELXSTWO P. 4.] dOSTATO^NO USTANOWITX, ^TO EDINI^NYJ [AR
B1[] W BESKONE^NOMERNOM BANAHOWOM PROSTRANSTWE NE KOMPAKTEN. pOSTRO-
IM INDUKTIWNO POSLEDOWATELXNOSTX (fn)  B1[] : f1 2 B1[] (kf1k = 1)
| PROIZWOLEN; ESLI ff1; : : :; fn g  B1[] UVE POSTROENY I Xn | PODPRO-
STRANSTWO E (NEOBHODIMO ZAMKNUTOE), POROVDENNOE WEKTORAMI ff1; : : : ; fng,
TO WEKTOR fn+1 WYBEREM PO LEMME P. 5. pO POSTROENI@ kfn , fm k 
1=2 (n; m 2 N), I PO\TOMU POSLEDOWATELXNOSTX (fn )  B1[] NE OBLADAET
SHODQ]EJSQ PODPOSLEDOWATELXNOSTX@, TAK ^TO [AR B1[] NE KOMPAKTEN. >
   6. u P R A V N E N I E. eDINI^NYJ [AR B1 [] NORMIROWANNOGO PRO-
STRANSTWA KOMPAKTEN TTOGDA PROSTRANSTWO KONE^NOMERNO.
   x245. sWOJSTWA KOMPAKTNYH OPERATOROW W GILXBERTOWOM
         PROSTRANSTWE
    1. dALEE BUDEM RASSMATRIWATX KOMPAKTNYE OPERATORY, DEJSTWU@]IE
W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE H . oBOZNA^IM ^EREZ C (H ) KLASS WSEH KOM-
PAKTNYH OPERATOROW W H . oTMETIM NEKOTORYE SWOJSTWA KLASSA C (H ):
    2. An 2 C (H ); A 2 B (H ); kAn , Ak ! 0 ) A 2 C (H ).
    3. C (H ) | BANAHOWO PROSTRANSTWO.
    4. eSLI H SEPARABELXNO, TO A 2 C (H ) TTOGDA A QWLQETSQ PREDELOM
PO NORME KONE^NOMERNYH OPERATOROW.
    5. A 2 C (H ) ) A 2 C (H ).
    6. A 2 C (H ); B 2 B (H ) ) AB; BA 2 C (H ).
    7. A 2 C (H ) ) R(I , A) ZAMKNUTO.
  2. pUSTX POSLEDOWATELXNOSTX (fn) OGRANI^ENA I (fn1) | EE PODPOSLEDOWA-
TELXNOSTX TAKAQ, ^TO (A1fn1) SHODITSQ. pUSTX (fn2) | PODPOSLEDOWATELX-
NOSTX POSLEDOWATELXNOSTI (fn1) TAKAQ, ^TO (A2fn2 ) SHODITSQ. pRODOLVIW
\TOT PROCESS, POLU^IM SISTEMU (fnk ) (k = 1; 2; : : :) PODPOSLEDOWATELXNOS-
TEJ TAKU@, ^TO (fnk ) | PODPOSLEDOWATELXNOSTX POSLEDOWATELXNOSTI (fnk,1 )
I (Ak fnk ) SHODITSQ. tOGDA POSLEDOWATELXNOSTX (fnn ) | PODPOSLEDOWATELX-
NOSTX ISHODNOJ POSLEDOWATELXNOSTI (fn), PRI^EM (Afnn ) SHODITSQ. |TO
SLEDUET IZ OCENKI
(1)         kA(fnn , fmm )k  k(A , As)(fnn , fmm )k + kAs(fnn , fmm )k:
                                   420