Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 433 стр.

oTMETIM, ^TO L2[,N; N ] PRI KAVDOM N > 0 MOVNO RASSMATRIWATX KAK
PODPROSTRANSTWO L2(R) (FUNKCIQ NA OTREZKE [,N; N ] DOOPREDELQETSQ NULEM
WNE \TOGO OTREZKA). pRI \TOM L2[,N; N ]  D(M ). tEPERX
            ZN
                f ()[g () , g()]d = 0 (f 2 L2[,N; N ])
             ,N
WLE^ET g() , g() = 0 P. W. NA [,N; N ] ) (IZ PROIZWOLXNOSTI N )
g() = g() P. W. W R ) g() 2 L2(R); g() = g() = (Mg)(). iTAK,
M = M : >
   5. [oPERATOR DIFFERENCIROWANIQ]. oPERATOROM DIFFERENCIROWANIQ
W GILXBERTOWOM PROSTRANSTWE L2(R) NAZOWEM OPERATOR Q  U MU , GDE
U | UNITARNYJ OPERATOR fURXE-pLAN[ERELQ (SM. 242.3), A M | OPE-
RATOR UMNOVENIQ NA NEZAWISIMU@ PEREMENNU@, RASSMOTRENNYJ WY[E. w
SILU 247.5 I P. 3 Q | SAMOSOPRQVENNYJ NEOGRANI^ENNYJ OPERATOR. pOLU-
^IM FORMULU WY^ISLENIQ \TOGO OPERATORA NA FUNKCIQH IZ PROSTRANSTWA
{WARCA S (SM. 170.4), KOTORYE OBRAZU@T PLOTNYJ W L2(R) LINEAL. oTME-
TIM SNA^ALA, ^TO FUNKCII IZ S UDOWLETWORQ@T USLOWIQM P. 168.8. pRI
\TOM W OBOZNA^ENIQH 168.7 S  D(M ); Mf = f x (f 2 S ). sOGLASNO 171.7
US = U S = S . pO\TOMU S  D(Q) I
   (Qf )(t) = (U MUf )(t) = 1i (iU MUf )(t) = 1i f 0(t); (f 2 S; t 2 R):
|TOJ FORMULOJ OPRAWDYWAETSQ NAZWANIE OPERATORA Q, KOTORYJ QWLQET-
SQ, TAKIM OBRAZOM, SAMOSOPRQVENNYM RAS[IRENIEM OBY^NOGO OPERATO-
RA DIFFERENCIROWANIQ (S POPRAWO^NYM SKALQRNYM MNOVITELEM), OPRE-
DELENNOGO IZNA^ALXNO NA S .
    sAMOSOPRQVENNYE OPERATORY IGRA@T ISKL@^ITELXNO WAVNU@ ROLX W
TEORII OPERATOROW I IH PRILOVENIJ, W SWQZI S ^EM POLEZNY KRITERII I
DOSTATO^NYE USLOWIQ SAMOSOPRQVENNOSTI. pRIWEDEM W KA^ESTWE ILL@ST-
RACII ODNO IZ DOSTATO^NYH USLOWIJ I EGO PRIMENENIE K USTANOWLENI@
SAMOSOPRQVENNOSTI ODNOGO KLASSA OPERATOROW.
    6. eSLI T | \RMITOW I R(T ) = H , TO T SAMOSOPRQV  EN.
  dOSTATO^NO USTANOWITX WKL@^ENIE D(T )  D(T ) (IZ P. 1 TOGDA SLE-
DUET, ^TO T = T ). dLQ PROIZWOLXNOGO g 2 D(T ) NAJDETSQ g 2 H , ^TO

                                    433