Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 470 стр.

    8. u P R A V N E N I E. pROWERITX SPRAWEDLIWOSTX AKSIOMY WYBORA DLQ
PODMNOVESTW (Ai)i2I MNOVESTWA N NATURALXNYH ^ISEL (UKAZATX PRAWILO, FI-
GURIRU@]EE W AKSIOME WYBORA).
    9. t E O R E M A [e. cERMELO]. wSQKOE MNOVESTWO MOVET BYTX WPOLNE
UPORQDO^ENO.
  pUSTX E | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I f | FUNKCIQ WYBORA DLQ SEMEJSTWA
WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA E . nEPUSTOE PODMNOVESTWO X MNO-
VESTWA E NAZOWEM f -MNOVESTWOM, ESLI W X MOVNO WWESTI STRUKTURU WPOLNE
UPORQDO^ENNOGO MNOVESTWA, PRI^EM
             8x 2 X (x = f (E n(,; x))); GDE (,; x)  fy 2 X j y < xg:
f -MNOVESTWA SU]ESTWU@T: NAPRIMER, TAKOWYM QWLQETSQ ODNO\LEMENTNOE MNO-
VESTWO ff (E )g.
    dOKAZATELXSTWO PROWEDEM W NESKOLXKO \TAPOW:
    (i). uSTANOWIM, ^TO ESLI X; Y | RAZLI^NYE f -MNOVESTWA I X  Y , TO
9b 2 Y (X = (,; b)).
    dEJSTWITELXNO, PUSTX b | NAIMENX[IJ \LEMENT MNOVESTWA Y nX . tOGDA
X  (,; b). eSLI DOPUSTITX, ^TO X =   6 (,; b), TO OPREDELEN NAIMENX[IJ \LEMENT
a MNOVESTWA (,; b)nX ; a < b, TAK KAK a 2 Y nX , ^TO PROTIWORE^IT OPREDELENI@
\LEMENTA b. iTAK X = (,; b), I (i) USTANOWLENO.
    (ii). eSLI X; Y | f -MNOVESTWA TO X  Y ILI Y  X .
    eSLI, NAPROTIW, X 6 Y I Y 6 X , TO Y nX =    6 ;; X nY =6 ; I SU]ESTWU@T:
    a | NAIMENX[IJ (W X ) \LEMENT MNOVESTWA X nY ,
    b | NAIMENX[IJ (W Y ) \LEMENT MNOVESTWA Y nX .
 oTMETIM, ^TO X \ Y =  6 ; (NAPRIMER, f (E ) 2 X \ Y ), I SPRAWEDLIWY RAWENSTWA:
    X \ Y = (,; a) (SPRAWA | PROMEVUTOK W MNOVESTWE X ),
    X \ Y = (,; b) (SPRAWA | PROMEVUTOK W MNOVESTWE Y ).
 fdEJSTWITELXNO, ESLI z 2 X \ Y , TO PO OPREDELENI@ \LEMENTOW a I b : z < a
(W X ), z < b (W Y ). oBRATNO, ESLI, NAPRIMER, z 2 X; z < a, TO z 2 Y , TAK
KAK INA^E z 2 X nY I ZNA^IT z  a | PROTIWORE^IE. iTAK, X \ Y = (,; a).
aNALOGI^NO, X \ Y = (,; b).g
    tEPERX PO OPREDELENI@ f -MNOVESTW:
               a = f (E n(,; a)) = f (E n(X \ Y )) = f (E n(,; b)) = b
| PROTIWORE^IE.
                                      470