Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 472 стр.

  (2) DLQ PROIZWOLXNOGO x 2 E IZ PRINADLEVNOSTI MNOVESTWU A KAVDOGO
       \LEMENTA y < x SLEDUET, ^TO x 2 A.
tOGDA A=E.
  pUSTX, NAPROTIW, Ac 6= ;, I b | NAIMENX[IJ \LEMENT Ac . tOGDA 8y < b (y 2
A) I IZ (2) SLEDUET, ^TO b 2 A | PROTIWORE^IE. >
    zAMETIM, ^TO ESLI W MNOVESTWE UVE ZADAN NEKOTORYJ PORQDOK, TO SU]ESTWU-
@]IJ PO TEOREME cERMELO POLNYJ PORQDOK S ISHODNYM, WOOB]E GOWORQ, NIKAK
NE SWQZAN. pO\TOMU W PRILOVENIQH ^A]E ISPOLXZU@T NE TEOREMU cERMELO, A
SLEDU@]EE EE WAVNOE SLEDSTWIE.
    11. t E O R E M A [m. cORN]. wSQKOE INDUKTIWNOE MNOVESTWO OBLADAET
MAKSIMALXNYM \LEMENTOM.
  pUSTX (E; ) INDUKTIWNO I  | POLNYJ PORQDOK W E , SU]ESTWU@]IJ PO
TEOREME cERMELO, a | NAIMENX[IJ (OTNOSITELXNO  ) \LEMENT W E . pOSTROIM
INDUKTIWNO MNOVESTWO D.
    (1) \LEMENT a OTNESEM W MNOVESTWO D,
    (2) ESLI x 2 E I WSE \LEMENTY y < x UVE RASKLASSIFICIROWANY (TO ESTX
OTNESENY W D ILI W Dc ), TO PO OPREDELENI@ x 2 D, ESLI x SRAWNIM (OTNOSI-
TELXNO  ) SO WSEMI \LEMENTAMI MNOVESTWA fz 2 D j z < xg, I x 62 D | W
PROTIWNOM SLU^AE.
    iZ PRINCIPA TRANSFINITNOJ INDUKCII SLEDUET, ^TO UKAZANNYMI USLOWI-
QMI MNOVESTWO D KORREKTNO ZADANO, TO ESTX KAVDYJ \LEMENT x 2 E LIBO
OTNESEN W D, LIBO OTNESEN W Dc. pO POSTROENI@ MNOVESTWO D SOWER[ENNO
UPORQDO^ENO (OTNOSITELXNO ), PRI^EM
(1)         8y 2 Dc 9z 2 D (y NE SRAWNIM S z OTNOSITELXNO ):
fw SAMOM DELE, ESLI (1) NE WYPOLNENO, TO
        X  fy 2 Dc j 8z 2 D (y SRAWNIM S z OTNOSITELXNO )g 6= ;:
pUSTX y0 | NAIMENX[IJ (OTNOSITELXNO ) \LEMENT MNOVESTWA X . tOGDA SO-
GLASNO KONSTRUKCII D (SM. (2)) y0 2 D | PROTIWORE^IE.g
   tAK KAK E INDUKTIWNO, MNOVESTWO D OBLADAET MAVORANTOJ b. |TO IS-
KOMYJ MAKSIMALXNYJ \LEMENT E . (eSLI, NAPROTIW, SU]ESTWUET c > b, TO
8z 2 D (z < c), TAK ^TO, W ^ASTNOSTI, c SRAWNIM (OTNOSITELXNO  ) SO WSE-
MI \LEMENTAMI MNOVESTWA D. pO\TOMU (SM. (1)) c 2 D I, SLEDOWATELXNO, c  b
| PROTIWORE^IE.) >

                                    472