Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 473 стр.

    tEOREMA cORNA BYLA POLU^ENA KAK SLEDSTWIE AKSIOMY WYBORA. nA SAMOM
DELE \TI DWA UTWERVDENIQ \KWIWALENTNY:
    12. uTWERVDENIE TEOREMY cORNA \KWIWALENTNO AKSIOME WYBORA.

  pOKAVEM, ^TO IZ UTWERVDENIQ TEOREMY cORNA SLEDUET AKSIOMA WYBORA.
pUSTX E | PROIZWOLXNOE MNOVESTWO I A | PROIZWOLXNOE SEMEJSTWO EGO NE-
PUSTYH PODMNOVESTW. tREBUETSQ DOKAZATX, ^TO 9f : A ! E 8a 2 A (f (a) 2 a).
mY DOKAVEM UTWERVDENIE DLQ SLU^AQ A = A(E )  P(E )nf;g. tOGDA ISKOMAQ
FUNKCIQ POLU^ITSQ KAK OGRANI^ENIE POSTROENNOJ FUNKCII WYBORA NA A .
    pUSTX Z | SEMEJSTWO WSEH NEPUSTYH PODMNOVESTW MNOVESTWA E , OBLADA@-
]IH NUVNYM NAM SWOJSTWOM:
                8X 2 Z 9fX : A(X ) ! X 8a 2 A(X ) (fX (a) 2 a):
sEMEJSTWO Z = 6 ; (ONO SODERVIT ODNO\LEMENTNYE PODMNOVESTWA MNOVESTWA
E ). pUSTX  | SEMEJSTWO WSEH FUNKCIJ WYBORA, UDOWLETWORQ@]IH (2). bUDEM
S^ITATX, ^TO fX  gY (fX ; gY 2 ), ESLI X  Y I 8Z  X (fX (Z ) = gY (Z )).
tOGDA  | OTNO[ENIE PORQDKA W  (!!). uBEDIMSQ, ^TO  INDUKTIWNO. pUSTX
(fXi )i2I | SOWER[ENNO UPORQDO^ENNOE
                                   S   PODMNOVESTWO . tOGDA FUNKCIQ fX ,
OPREDELENNAQ DLQ MNOVESTWA X = X RAWENSTWOM
                                         i
                                  i2I
                       fX (a) = fXi (a); ESLI a 2 A(Xi);
QWLQETSQ MAVORANTOJ . tEPERX W SILU UTWERVDENIQ TEOREMY cORNA  OBLA-
DAET MAKSIMALXNYM \LEMENTOM fA . oSTALOSX LI[X USTANOWITX, ^TO A = E .
pUSTX, NAPROTIW, 9x 2 E nA. rASSMOTRIM MNOVESTWO X  A [fxg I OPREDELIM
FUNKCI@ f : A(X ) ! X RAWENSTWOM:
                                                x 62 Y ,
                       f (Y ) = ffAxg(Y; ); ESLI
                                            ESLI x 2 Y .
f | FUNKCIQ WYBORA DLQ SEMEJSTWA A(X ), PRI^EM f j A(A) = fA . iTAK, fA < f ,
^TO PROTIWORE^IT MAKSIMALXNOSTI fA : >
    13. ~ASTO WSTRE^A@TSQ SITUACII, KOGDA PRIHODITSQ SRAWNIWATX MNOVESTWA
PO KOLI^ESTWU \LEMENTOW W NIH SODERVA]IHSQ. dLQ DWUH MNOVESTW E I F BUDEM
PISATX Card E  Card F (SOOTWETSTWENNO Card E > Card F ), ESLI SU]ESTWUET
IN_EKCIQ f : F ! E (SOOTWETSTWENNO SU]ESTWUET IN_EKCIQ f : F ! E , NO
NE SU]ESTWUET IN_EKCII IZ E W F ). sLEDU@]EE UTWERVDENIE GLASIT, ^TO DLQ
DWUH MNOVESTW IMEET MESTO ODNO IZ TREH: LIBO Card E > Card F , LIBO Card F >
Card E , LIBO E I F RAWNOMO]NY (W \TOM SLU^AE PI[EM Card E = Card F ):

                                        473