Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 54 стр.

~ISLO A, KOTOROE OBOZNA^AETSQ TAKVE f 0(x), ODNOZNA^NO OPREDELQETSQ RA-
WENSTWOM () I NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII f W TO^KE x. tAKIM
OBRAZOM,
                         f 0(x) = hlim 1 [f (x + h) , f (x)]:
                                    !0 h
    2. z A M E ^ A N I E. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO ONA
NEPRERYWNA W x. |TO SLEDUET IZ () S U^ETOM 22.2.
    3. eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x, TO OPREDELENO OTOBRAVENIE
Lx : R ! R; Lx(h) = f 0(x)h (h 2 R), SWQZANNOE S TO^KOJ x I ZADANNOE NA
SME]ENIQH h. |TO OTOBRAVENIE (ONO LINEJNO PO h) NAZYWAETSQ PROIZWOD-
NYM (KASATELXNYM) OTOBRAVENIEM K f W TO^KE x. zNA^ENIE PROIZWODNO-
GO OTOBRAVENIQ NA SME]ENII h NAZYWAETSQ DIFFERENCIALOM FUNKCII f W
TO^KE x : Lx(h) = f 0(x)h. sME]ENIE h TRADICIONNO OBOZNA^A@T SIMWOLOM
dx (NUVNO POMNITX, ^TO dx NE ZAWISIT OT x), A DIFFERENCIAL FUNKCII
f W TO^KE x OBOZNA^A@T df (x). iTAK, df (x) = f 0(x)dx.
    4. eSLI f : E ! R DIFFERENCIRUEMA W KAVDOJ TO^KE MNOVESTWA E
(\TO ZNA^IT, W ^ASTNOSTI, ^TO E | OTKRYTOE MNOVESTWO), TO OPREDELENA
FUNKCIQ x ! f 0(x) (x 2 E ), KOTORAQ NAZYWAETSQ PROIZWODNOJ FUNKCII f
I OBOZNA^AETSQ f 0 ILI dx   df .
    5. eSLI FUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE x0, TO URAWNENIE KASA-
TELXNOJ K GRAFIKU FUNKCII y = f (x) W TO^KE x0 ZADAETSQ URAWNENIEM
(SM. 28.1)
                            y , f (x0) = f 0(x0)(x , x0):
nA rIS. 9 WIDEN GEOMETRI^ESKIJ SMYSL DIFFERENCIALA FUNKCII f :
df (x0) = f 0(x0)dx = AC , f (x0 + dx) , f (x0) = df (x0) + o(dx) = AB .
    p R I M E R Y. 6. f (x) = C (x 2 R); f 0(x) = 0 (x 2 R).
    7. (sin x)0 = cos x (x 2 R).
  hlim 1 [sin(x + h) , sin x] = lim 1 
 2 sin h 
 cos 2x + h = cos x: >
     !0 h                          h!0 h         2         2
    8. (cos x) = , sin x (x 2 R).
               0
    9. (ax)0 = ax ln a (x 2 R). w ^ASTNOSTI, (ex)0 = ex (x 2 R).
  ax+h , ax = ax(ah , 1) = ax ln a 
 h (h ! 0) (SM. 21.8). >


                                  54