Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 53 стр.

                   differencirowanie
     x28. zADA^I, PRIWODQ]IE K OPREDELENI@ PROIZWODNOJ
     1. zADA^A OPREDELENIQ KASATELXNOJ K KRIWOJ. rASSMOTRIM GRAFIK
FUNKCII y = f (x) (x 2 E ). zAFIKSIRUEM TO^KU x0 I BUDEM PROWODITX
^EREZ TO^KU S KOORDINATAMI (x0; f (x0)) PRQMYE S RAZLI^NYMI UGLOWYMI
KO\FFICIENTAMI k = tg . mOVNO S^ITATX, ^TO W TO^KAH, BLIZKIH K x0,
\TI PRQMYE APPROKSIMIRU@T NA[U KRIWU@. sOOTWETSTWU@]AQ POGRE[-
NOSTX APPROKSIMACII W TO^KE x0 + h RAWNA (rIS. 8)
                          r(h) = f (x0 + h) , [f (x0) + kh]:
eSLI f NEPRERYWNA W x0, TO r(h) = o(1) (h ! 0), TO ESTX POGRE[NOSTX
STREMITSQ K NUL@ WMESTE S h . eSLI SREDI PRQMYH ESTX TAKAQ, DLQ KOTOROJ
POGRE[NOSTX APPROKSIMACII IMEET WYS[IJ, PO SRAWNENI@ S h, PORQDOK
MALOSTI, TO ESTX r(h) = o(h) (h ! 0), TO TAKAQ PRQMAQ EDINSTWENNA. oNA
NAZYWAETSQ KASATELXNOJ K KRIWOJ y = f (x) W TO^KE x0.
  uSLOWIE SU]ESTWOWANIQ KASATELXNOJ W TO^KE x0 IMEET WID f (x0 + h) ,
[f (x0) + k0h] = o(h) (h ! 0); OTS@DA UGLOWOJ KO\FFICIENT KASATELXNOJ
k0 = hlim  1 [f (x0 + h) , f (x0)]. iZ EDINSTWENNOSTI PREDELA (SM. 19.1) TEPERX
        !0 h
SLEDUET EDINSTWENNOSTX KASATELXNOJ, ESLI ONA SU]ESTWUET. >
     iTAK, ISKOMOE URAWNENIE KASATELXNOJ
           y , f (x0) = k0(x , x0); k0 = hlim      1 [f (x + h) , f (x )]:
                                               !0 h       0           0
     2. mGNOWENNAQ SKOROSTX. pUSTX s(t) | PUTX, PROJDENNYJ MATERIALX-
NOJ TO^KOJ ZA WREMQ t. sREDNQQ SKOROSTX NA U^ASTKE WREMENI
[t0; t0 + h] ([t0 + h; t0], ESLI h < 0) ESTX vcp. = h1 [s(t0 + h) , s(t0)]. mGNO-
WENNOJ SKOROSTX@ (W MOMENT WREMENI t0) NAZYWAETSQ WELI^INA v(t0) =
lim 1 [s(t0 + h) , s(t0)].
h!0 h
     x29. oPREDELENIE PROIZWODNOJ
     1. fUNKCIQ f : E ! R (E  R) NAZYWAETSQ DIFFERENCIRUEMOJ W TO^KE
x 2 E , ESLI W E SODERVITSQ NEKOTORAQ OKRESTNOSTX TO^KI x I
()                   f (x + h) , f (x) = Ah + o(h) (h ! 0):
                                       53