Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 66 стр.

   x35. lOKALXNAQ FORMULA tEJLORA
   1.   eSLI f n RAZ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a, TO
f (x) = f (a) + f 0(a)(x , a) + : : : + n1! f (n)(a)(x , a)n + o((x , a)n) (x ! a):
|TA FORMULA NAZYWAETSQ FORMULOJ tEJLORA S OSTATKOM W FORME pEANO.
  dOSTATO^NO DOKAZATX UTWERVDENIE DLQ SLU^AQ, KOGDA
()                 f (a) = f 0(a) = : : : = f (n)(a) = 0:
(eSLI () NE IMEET MESTA, TO POLAGAQ
                                   Xn
                   h(x) = f (x) , k1! f (k)(a)(x , a)k;
                                   k=0
IMEEM h(a) = h0(a) = : : : = h(n)(a) = 0.) iTAK, PUSTX WYPOLNENO (). pRI
n = 1 : f (x) = f (a) + f 0(a)(x , a) + o(x , a) = o(x , a) (x ! a), TO ESTX
UTWERVDENIE WERNO. pUSTX ONO WERNO DLQ WSEH k  n , 1: pOLOVIM g(x) =
f 0(x). tOGDA g(a) = g0(a) = : : : = g(n,1)(a) = 0, I PO PREDPOLOVENI@
INDUKCII g(x) = o((x , a)n,1) (x ! a). iSPOLXZUQ PRAWILO lOPITALQ
33.1, IMEEM
           lim   f (x) = lim f 0(x) = lim g(x) = 0: >
           x!a (x , a)n x!a n(x , a)n,1 x!a n(x , a)n,1

    2. rAZLOVENIE S OSTATKOM W FORME pEANO EDINSTWENNO.
  pUSTX IMEET MESTO E]E ODNO PREDSTAWLENIE
      f (x) = a0 + a1(x , a) + : : : + an (x , a)n + o((x , a)n) (x ! a):
wY^ITAQ OTS@DA RAWENSTWO, DOKAZANNOE W P. 1, IMEEM
         0 = c0 + c1(x , a) + : : : + cn(x , a)n + o((x , a)n) (x ! a);
GDE ck = ak , k1! f (k)(a); 0  k  n. pEREHODQ ZDESX K PREDELU PRI x ! a,
POLU^AEM c0 = 0: tAKIM OBRAZOM,
         0 = c1(x , a) + : : : + cn (x , a)n + o((x , a)n) (x ! a):
                                        66