Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

rAZDELIW OBE ^ASTI \TOGO RAWENSTWA NA x , a I PEREJDQ K PREDELU PRI
x ! a, POLU^IM c1 = 0. aNALOGI^NO POLU^IM POSLEDOWATELXNO c2 = : : : =
cn = 0: >
   x36. rQD tEJLORA
   1. eSLI f (x) (x 2 U (a)) n RAZ DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a, TO PRI
PODHODQ]EM WYBORE rn(x)
  f (x) = f (a) + f 0(a)(x , a) + : : : + (n ,1 1)! f (n,1)(a)(x , a)n,1 + rn(x):
dOPUSTIM TEPERX, ^TO f IMEET W TO^KE a PROIZWODNYE SKOLX UGODNO WY-
SOKIH PORQDKOW. tOGDA RQD
      X
      1 1
              (n) (a)(x , a)n = f (a) + f 0 (a)(x , a) + 1 f 00(a)(x , a)2 + : : :
            f
     n=0 n!                                              2!
ESTESTWENNO NAZWATX RQDOM tEJLORA FUNKCII f PO STEPENQM x , a. wAVEN
SLU^AJ, KOGDA RQD tEJLORA SHODITSQ K f (x).
    2. f (x) =
                  P
                  1 1 (n)
                          f (a)(x , a)n TTOGDA rn (x) ! 0 (n ! 1).
                 n=0 n!
  pUSTX sn(x) = kP=0 k1! f (k)(a)(x , a)k | ^ASTNYE SUMMY RQDA tEJLORA,
                         n,1

TAK ^TO f (x) = sn (x) + rn (x). eSLI rn(x) ! 0 (n ! 1), TO lim          n sn (x) =
  n [f (x) , rn (x)] = f (x). oBRATNO, ESLI RQD tEJLORA SHODITSQ K f (x), TO
lim
sn(x) ! f (x) (n ! 1), TAK ^TO rn(x) = f (x) , sn (x) ! 0 (n ! 1): >
    p R I M E R Y. 3: ex = nP=0 n1! xn (x 2 R).
                                     1

    4. sin x =
                     P1            2n+1
                        (,1)n (2xn + 1)! (x 2 R).
                    n=0
    5. cos x =
                      P
                      1           2n
                         (,1)n (2xn)! (x 2 R).
                     n=0
    6. ln(1 + x) =
                           P
                           1            n
                              (,1)n,1 xn (,1 < x  1).
                          n=1
    7. (1 + x) = 1 + bx + : : : + 1 b(b , 1) : : : (b , n + 1)xn + : : :
                   b
                                          n!
                                                                 (,1 < x < 1).

                                        67

Страницы