Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 69 стр.

    u P R A V N E N I E. 5. dOKAZATX, ^TO FUNKCIQ (1 + x)b(x > ,1)
ANALITI^ESKAQ.
    x38. wOZRASTANIE I UBYWANIE FUNKCIJ NA OTREZKE
    1. pUSTX f : [a; b] ! R NEPRERYWNA I NA (a; b) DIFFERENCIRUEMA. tOGDA
IMEET MESTO TABLICA
                   f0         f NA OTREZKE [a; b]        f0
                  > 0 )1 STROGO WOZRASTAET )6  0
                   0 )2          NE UBYWAET        )7  0
                   0 )3           KONSTANTA        )8  0
                   0 )4 NE WOZRASTAET )9  0
                  < 0 )5 STROGO UBYWAET )10  0
  iMPLIKACII ()1 ) { ()5 ) QWLQ@TSQ SLEDSTWIEM FORMULY lAGRANVA
()          f (y) , f (x) = f 0(z)(y , x) (a  x < z < y  b):
oTMETIM, ^TO IMPLIKACIQ ()3) UVE DOKAZANA RANEE (SM 32.4). iMPLI-
KACII ()6 ) { ()10) SLEDU@T IZ OPREDELENIQ PROIZWODNOJ. w ^ASTNOSTI,
()7 ) SLEDUET IZ NERAWENSTWA
             f 0(x) = f 0(x+) = hlim 1 [f (x + h) , f (x)]  0;
                                 !0+ h
()6 ) SLEDUET IZ ()7 ). >
   2. z A M E ^ A N I E. iZ STROGOGO WOZRASTANIQ FUNKCII f NA [a; b] NE
SLEDUET, ^TO f 0(x) > 0 DLQ WSEH x 2 (a; b). nAPRIMER, f (x) = x3 (x 2 R)
STROGO WOZRASTAET, NO f 0(0) = 0.
    x39. lOKALXNYJ \KSTREMUM
    1. gOWORQT, ^TO FUNKCIQ f : E ! R (E  R) OBLADAET LOKALXNYM MAK-
SIMUMOM (SOOTWETSTWENNO MINIMUMOM) W TO^KE a 2 E , ESLI SU]ESTWUET
OKRESTNOSTX NULQ U (0) TAKAQ, ^TO f (a + h) , f (a)  0 (SOOTWETSTWENNO
f (a + h) , f (a)  0) DLQ WSEH h 2 U (0) \ fhj a + h 2 E g. gOWORQT, ^TO
f OBLADAET W TO^KE a LOKALXNYM \KSTREMUMOM, ESLI f OBLADAET W \TOJ
TO^KE LOKALXNYM MAKSIMUMOM ILI MINIMUMOM.
                                    69