Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 70 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

   2.   eSLI f DIFFERENCIRUEMA W TO^KE a I OBLADAET W \TOJ TO^KE
LOKALXNYM \KSTREMUMOM, TO f 0(a) = 0. bOLEE TOGO, ESLI f 0(a) = 0
I f 00(a) > 0, TO a | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA; ESLI f 0(a) = 0 I
f 00(a) < 0, TO a | TO^KA LOKALXNOGO MAKSIMUMA.
  1-E UTWERVDENIE SLEDUET IZ NERAWENSTW (SLU^AJ LOKALXNOGO MAKSIMUMA)
                     f 0(a+) = hlim   1 [f (a + h) , f (a)]  0;
                                  !0+ h
                     f 0(a,) = hlim   1 [f (a + h) , f (a)]  0:
                                  !0, h
pUSTX f 0(a) = 0; f 00(a) > 0. tOGDA SU]ESTWUET U (0) TAKAQ, ^TO
1 0                       1 0                 
h [f (a+h),f (a)] = h f (a+h) > 0 (h 2 U (0)), TO 0ESTX ZNAK f (a+h) SOWPA-
                0                                                  0
DAET SO ZNAKOM h (h 2 U (0)) I f (a + h) , f (a) = f (a + h)h  0 (h 2 U (0))
(TAK KAK 0 <  < 1). iTAK, a | TO^KA LOKALXNOGO MINIMUMA. >
     3. z A M E ^ A N I E. nEOBHODIMOE USLOWIE \KSTREMUMA W TO^KE a 2 (c; d):
NESU]ESTWOWANIE PROIZWODNOJ W TO^KE a ILI OBRA]ENIE EE W 0.
     4. pRI ISSLEDOWANII NA \KSTREMUM POLEZNA TABLI^KA (SM. rIS. 11;
PREDPOLAGAETSQ, ^TO f NEPRERYWNA NA (c; d); c < a < d).
     5. p R I M E R. pRINCIP fERMA GLASIT, ^TO TRAEKTORIQ SWETA W FI-
ZI^ESKOJ SREDE REALIZUET MINIMUM WREMENI, KOTOROE NEOBHODIMO LU^U,
^TOBY PROJTI RASSTOQNIE MEVDU ZADANNYMI TO^KAMI (W ODNORODNOJ SRE-
DE SWET RASPROSTRANQETSQ PRQMOLINEJNO). pUSTX IME@TSQ DWE ODNOROD-
NYE SREDY I ci | SKOROSTX SWETA W SREDE (i); i = 1; 2. tREBUETSQ NAJTI
TRAEKTORI@ SWETA MEVDU TO^KAMI A1 I A2 (SM. rIS. 12). wREMQ, KOTOROE
POTREBOWALOSX BY LU^U, ^TOBY PROJTI PUTX, MINUQ TO^KU x,
                                   1=2                     1=2
                  t(x) = c1 h21 + x2 + c1 h22 + (a , x)2 :
                           1                 2
nEOBHODIMOE USLOWIE LOKALXNOGO \KSTREMUMA t0(x) = 0 DAET: cc12 = sin         1
                                                                        sin 2 .
oSTAETSQ ZAMETITX, ^TO SOOTWETSTWU@]AQ TO^KA DEJSTWITELXNO REALIZU-
ET MINIMUM FUNKCII t(x).
    x40. wYPUKLYE FUNKCII
    1. fUNKCIQ f : (a; b) ! R NAZYWAETSQ WYPUKLOJ (ILI WYPUKLOJ WNIZ),
ESLI DLQ L@BYH x; y 2 (a; b) I L@BOGO 2 [0; 1] SPRAWEDLIWO NERAWENSTWO
()             f ( x + (1 , )y)  f (x) + (1 , )f (y):
                                      70

Страницы