Конспект лекций по математическому анализу. Шерстнев А.Н. - 71 стр.

eSLI VE IMEET MESTO OBRATNOE NERAWENSTWO f ( x + (1 , )y)  f (x) +
(1 , )f (y), GOWORQT, ^TO FUNKCIQ WOGNUTA (WYPUKLA WWERH).
    2. gEOMETRI^ESKI USLOWIE () OZNA^AET, ^TO MNOVESTWO

                   E = f(x; y) 2 R2 j x 2 (a; b); f (x)  yg
QWLQETSQ WYPUKLYM, TO ESTX WMESTE S KAVDYMI SWOIMI DWUMQ TO^KAMI
ONO SODERVIT I OTREZOK, SOEDINQ@]IJ \TI TO^KI.
    3. dIFFERENCIRUEMAQ FUNKCIQ f (x) (a < x < b) NAZYWAETSQ WYPUKLOJ
(SOOTWETSTWENNO WOGNUTOJ) W TO^KE c 2 (a; b), ESLI W NEKOTOROJ OKREST-
NOSTI TO^KI c GRAFIK \TOJ FUNKCII NAHODITSQ NAD (SOOTWETSTWENNO POD)
KASATELXNOJ W TO^KE c. gOWORQT, ^TO c | TO^KA PEREGIBA, ESLI DLQ NEKO-
TOROGO  > 0 W INTERWALAH (c , ; c); (c; c + ) GRAFIK NAHODITSQ PO RAZNYE
STORONY OT KASATELXNOJ W TO^KE c. pRIWEDEM PRAKTI^ESKI \FFEKTIWNYE
USLOWIQ WYPUKLOSTI FUNKCII.
    4. dIFFERENCIRUEMAQ NA (a; b) FUNKCIQ f WYPUKLA TTOGDA f 0 NE UBY-
WAET NA (a; b). w ^ASTNOSTI, ESLI f DWAVDY DIFFERENCIRUEMA NA (a; b),
TO ONA WYPUKLA TTOGDA f 00(x)  0 (a < x < b).
  pUSTX WYPUKLAQ FUNKCIQ f DIFFERENCIRUEMA NA (a; b); a < x < y < b
I h > 0 TAKOWO, ^TO x + h < y. pOLAGAQ = 1 , y ,h x , IMEEM x + h =
  x + (1 , )y I, SLEDOWATELXNO,
        1                       1
        h [f (x + h) , f (x)]  h [ f (x) + (1 , )f (y) , f (x)]
                                                              , f (x) :
                              = 1 ,h [f (y) , f (x)] = f (yy) , x
oTS@DA f 0(x) = hlim    1 [f (x + h) , f (x)]  f (y) , f (x) . aNALOGI^NYE WY-
                    !0+ h                           y,x
^ISLENIQ DLQ  > 0 TAKOGO, ^TO x < y,, POKAZYWA@T, ^TO f (y , ,       ) , f (y) 
                                                                         
f (y) , f (x) , TAK ^TO
    y,x
            f 0(y) = lim f (y , ) , f (y)  f (y) , f (x)  f 0(x):
                      !0+        ,               y,x
nEOBHODIMOSTX PERWOGO UTWERVDENIQ DOKAZANA.

                                       71